- •III семестр. Ммф нгу
- •Конспект лекций1
- •2003 – 2004 Учебный год
- •Содержание
- •Лекция 1. Традиционные задачи линейной алгебры
- •Векторные и матричные нормы
- •Число обусловленности
- •Лекция 2. Прямые методы решения линейных уравнений Метод исключения Гаусса – схема единственного деления
- •Теорема об lu разложении
- •Разложение Холесского
- •Метод квадратного корня
- •Метод вращений решения системы уравнений Элементарная матрица вращения
- •–Ый шаг метода вращений
- •Решение системы с вырожденной матрицей –разложение с перестановками столбцов матрицы
- •Совместность системы с вырожденной матрицей
- •Применение –разложения с перестановками столбцов для решения совместной системы
- •Метод прогонки решения систем с трехдиагональной матрицей –разложение трехдиагональной матрицы :
- •Формулы метода прогонки для системы :
- •Асимптотическая скорость сходимости
- •Метод Зейделя (Гаусса–Зейделя, Некрасова)
- •Необходимое и достаточное условие сходимости метода Зейделя в случае симметричной матрицы с положительной главной диагональю
- •Лекция 7. Функционал ошибки
- •Метод полной релаксации
- •Метод неполной релаксации
- •Метод минимальных невязок
- •Метод простой итерации
- •Оценки сходимости мнс и ммн
- •Лекция 9. Метод Ричардсона с чебышевскими параметрами Задача оптимизации параметров
- •Полином Чебышева и решение задачи оптимизации параметров
- •Циклический метод Ричардсона: формулы и сходимость
- •Об устойчивости метода Ричардсона
- •Трехчленные формулы реализации метода Ричардсона с чебышевскими параметрами
- •Лекция 10. Многошаговые методы. Вариационная оптимизация
- •Метод сопряженных градиентов
- •Переобуславливатель
- •Положительно определенные матрицы
- •Лекция 11. Проблема собственных значений
- •Корректность задачи на собственные значения
- •Степенной метод вычисления максимального собственного значения матрицы
- •Степенной метод вычисления минимального собственного значения матрицы
- •Применение ортогонализации и степенного метода для вычисления очередного собственного значения
- •Лекция 12. Метод деления пополам (бисекций)
- •Идея метода бисекций вычисления
- •Приведение самосопряженной матрицы к трехдиагональному виду ортогональным преобразованием подобия с помощью матриц вращения
- •Якобиевы матрицы
- •О вычислении чпз
- •О вычислении собственного вектора
- •Лекция 13. Метод вращений (Якоби)
- •Выбор вращения
- •Сходимость собственных значений
- •Сходимость собственных векторов
- •Литература
Переобуславливатель
Для решения системы рассмотрим итерационный метод
,
где матрица (переобуславливатель) эквивалентна по спектру матрице с постоянными :
.
Теорема. |
. |
Док–во. |
. – вещественный . |
Следствие. |
т.к. и . |
Теорема. |
( ), тогда . |
Док–во. |
функционал ошибки строго убывает и, т.к. оператор непрерывен, то итерационный процесс сходится . |
Положительно определенные матрицы
Теорема 1. .
Теорема 2.
Теорема 3.
(т.к. – разложение Холесского) – это критерий Сильвестра положительной определенности или положительности всех собственных значений симметричной (самосопряженной) матрицы.
Теорема 4.
Теорема 5. – веществ. кососимметричная матрица .
Теорема 6. .
Доказать эти утверждения в качестве упражнений.
Построить пример вещественной несимметричной, но положительно определенной в матрицы.
Лекция 11. Проблема собственных значений
Для матрицы нужно найти числа и ненулевые векторы такие, что : – собственное значение, – собственный вектор.
Корректность задачи на собственные значения
Известно, что все собственные значения матрицы являются корнями характеристического полинома
,
а коэффициенты – непрерывные функции элементов матрицы .
Пусть – матрица с “малыми” по величине элементами, – характеристический полином матрицы . Следствием непрерывности как функции элементов матрицы является
Лемма 1. .
Лемма 2. |
В любом круге на комплексной плоскости с центром в точке и радиуса лежит хотя бы один корень полинома . |
Док–во. |
Разложим в ряд Тейлора в точке : , где . Пусть – корни полинома , среди которых корень с минимальной абсолютной величиной имеет номер . Так как , то (корень полинома ) лежит в круге радиуса . |
Лемма 3. |
Если – корни полинома , то нумерация корней полинома : при . |
Док–во |
методом матиндукции по степени полинома. . Пусть лемма верна при . : из леммы 2 . Т.к. и , то . |
Степенной метод вычисления максимального собственного значения матрицы
Идея метода: для заданного вектора рассмотрим его –ю итерацию ,
если – собственные значения,
– соответствующие им собственные векторы, то
где – коэффициенты (неизвестные!)
разложения вектора по базису .
Итерационный процесс
называется степенным методом вычисления максимального собственного значения матрицы :
, ,
если проекция начального вектора на линейную оболочку собственных векторов, соответствующих , не равна 0.
Док–во. Пусть – собственные значения,
– собственные векторы матрицы , и
Тогда и,
т.к. , ,
то ,
.
Замечание. Сходимость степенного метода не зависит от выбора в нем векторной нормы, т.к. все нормы в эквивалентны.
Степенной метод вычисления минимального собственного значения матрицы
Задача вычисления минимального собственного значения матрицы легко сводится к задаче вычисления максимального собственного значения матрицы , где , так как .
Оценку для легко найти: . Тогда
итерационный процесс
называется степенным методом вычисления минимального собственного значения матрицы : ,
если проекция начального вектора на линейную оболочку собственных векторов, соответствующих , не равна 0.
Справедливость этого утверждения является следствием сходимости степенного метода вычисления спектрального радиуса матрицы .