3 Семестр

1. Построение кольца многочленов от одной переменной.

2. Отношение делимости в кольце многочленов. Свойства.

3. Теорема о существовании частного и остатка.

4. Теорема единственности частного и остатка.

5. НОД многочленов. Алгоритм Евклида.

6. Свойства НОДа.

7. Линейная форма НОД двух многочленов.

8. Взаимно простые многочлены. Свойства.

9. Производная многочлена. Свойства производной.

10. Кратность корня. Связь кратности корня с производной данного многочлена.

11. Теорема Безу. Схема Горнера.

12. Основная теорема алгебры многочленов. Следствия из неё.

13. Формулы Виета.

14. Решение уравнений 3-ей степени.

15. Решение уравнений 4-ей степени.

16. Приводимые и неприводимые многочлены. Свойства.

17. теорема о разложении многочлена на неприводимые множители.

18. Неприводимость и приводимость многочленов над полями и .

19. Критерий приводимости многочленов 2-й и 3-ей степени над полем .

20. примитивный многочлен. Представление всякого многочлена из Q[x] в виде произведения примитивного многочлена на некоторое рациональное число.

21. Лемма Гаусса.

22. Критерий Эйзенштейна.

4 Семестр

1. Определение векторного пространства, примеры, свойства.

2. Подпространства. Примеры. Критерий подпространства.

3. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Свойства.

4. Пересечение и сумма подпространств.

5. Прямая сумма подпространств. Критерий прямой суммы.

6. Теорема о размерности суммы подпространств.

7. Нахождение базиса суммы и базиса пересечения подпространств.

8. Изоморфизм векторных пространств. Теорема об изоморфизме конечномерных векторных пространств.

9. Критерий линейной независимости образов системы векторов при изоморфизме векторных пространств.

10. Умножения числовой матрицы на векторную матрицу-столбец. Свойства этого умножения.

11. Матрица перехода от одного базиса к другому. Невырожденность матрицы перехода.

12. Связь между матрицей перехода от базиса е к базису е' и матрицей перехода от базиса е' к базису е. Связь между координатами одного и того же вектора в разных базисах.

13. Определение линейного оператора. Свойства линейного оператора. Матрица линейного оператора.

14. Образ и ядро линейного оператора.

15. Теорема о сумме ранга и дефекта.

16. Теорема о существовании и единственности линейного оператора, переводящего линейно независимую систему из k векторов в произвольную систему из k векторов.

17. Подобные матрицы. Подобие матриц одного и того же линейного оператора в разных базисах.

18. Характеристическая матрица. Характеристические корни матрицы. Равенство характеристических многочленов подобных матриц.

19. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Теорема о связи между собственными значениями линейного оператора и характеристическими корнями матрицы этого линейного оператора.

20. Критерий диагональности матрицы линейного оператора.

21. Линейная независимость собственных векторов линейного оператора, относящихся к различным собственным значениям.

22. Группы. Свойства групп. Подгруппы.

23. Действия над степенями элемента в группе.

24. Бесконечная циклическая группа. Теорема об изоморфизме бесконечной циклической группы и аддитивной группы целых чисел.

25. Конечные циклические группы.

26. Смежные классы по подгруппе. Свойства.

27. Теорема Лагранжа.

28. Определение нормального делителя. Критерий нормального делителя.

29. Фактор группа по нормальному делителю.

30. Гомоморфный образ группы. Первая теорема о гомоморфизмах групп.

31. Вторая теорема о гомоморфизмах групп.