![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Оглавление
- •Задача Коши
- •Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов Метод последовательного дифференцирования.
- •Метод неопределенных коэффициентов.
- •Метод последовательных приближений
- •Метод Эйлера
- •Метод Рунге-Кутта
- •Метод Милна
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Метод прогонки
- •Метод конечных разностей для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Метод Галеркина
- •Метод коллокации
- •Примеры решений Примеры реализации численных методов решения систем дифференциальных уравнений
- •Литература
Дифференциальные уравнения второго порядка
Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка F(x,y,y',y'') = 0 . Двухточечная краевая задача для уравнения ставится следующим образом: найти функцию y = y(x), которая внутри отрезка [a,b] удовлетворяет уравнению, а на концах отрезка - краевым условиям
.
Рассмотрим случай, когда уравнение и граничные условия линейны.Такая краевая задача называется линейной краевой задачей. В этом случае дифференциальное уравнение и краевые условия записываются так: y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x),
,
где
p(x),q(x),f(x)- известные непрерывные на
отрезке [a,b] функции, α0,α1,β0,β1,A,B
-заданные постоянные, причем
.
Если А=В=0, то краевые условия называются однородными. Методы приближенного решения поставленных краевых задач можно разбить на две группы: разностные методы и аналитические методы.
Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка
Пусть
x0 = a,xn = b,xi
= x0 + ih(i = 1,2,...,n − 1)
- система равноотстоящих узлов с некоторым
шагом
и
pi = p(xi),qi
= q(xi),fi =
f(xi) . Обозначим получаемые
в результате расчета приближенные
значения искомой функции y(x) и ее
производных y'(x),y''(x)
в узлах xi через
соответственно.
Заменим приближенно в каждом внутреннем
узле производные y'(xi),y''(xi)
конечно-разностными отношениями
,
а на концах положим
.
Используя эти формулы , приближенно
заменим уравнение y'' + p(x)y'
+ q(x)y = f(x) и краевые
условия системой уравнений
.
Получим линейную алгебраическую систему n+1 уравнений с n+1 неизвестными. Решив ее, если это возможно, получим таблицу приближенных значений искомой функции.
Более
точные формулы получаются, если заменить
y'(xi),y''(xi)
центрально-разностными отношениями
.
Тогда получим систему
.
Оценка
погрешности метода конечных разностей
имеет вид
,где
y(xi)-значение точного
решения при x = xi,M4
= max[a,b]
| y(4)(x) | .
В практических задачах часто встречаются уравнения, в которых функции p(x),q(x),f(x) заданы таблично с некоторым шагом h. Совершенно естественно такие уравнения решать разностным методом с данным шагом h.
Метод прогонки
1. Рассмотрим систему, полученную при замене уравнения и краевых условий конечно-разностными отношениями:
.
Метод прогонки решения таких систем заключается в следующем. Запишем сначала первые n-1 уравнений системы в виде
yi + 2 + miyi + 1 + kiyi = h2fi, где mi = − 2 + hpi,ki = 1 − hpi + h2qi,(i = 0,1,2,...,n − 2).
Затем написанная выше система приводится к виду yi + 1 = ci(di − yi + 2),(i = 0,1,2,...,n − 2). Числа ci,di последовательно вычисляются по формулам:
при i=0
;
при
i=1,2,...,n-2
.
Вычисления производятся в следующем порядке.
ПРЯМОЙ ХОД. По формулам вычисляем значения mi,ki.Находим c0d0 и затем, применяя последовательно рекуррентные формулы, получаем значения cidi при i = 1,2,...,n − 2 .
ОБРАТНЫЙ
ХОД.Из уравнения при i=n-2 и последнего
уравнения системы получаем
.
Решив
эту систему относительно yn,
будем иметь
Используя
уже известные числа cn
− 2dn − 2, находим
yn. Затем вычисляем значения
yi(i = n −
1,...,1),последовательно применяя рекуррентные
формулы:
Значение
y0 находим из предпоследнего
уравнения системы:
.
2. Рассмотрим метод прогонки для решения системы, которая получается при замене уравнения и второго краевого условия центральными конечно-разностными отношениями:
.
Запишем
сначала первые n-1 уравнений системы в
виде
,
где
.
Затем приводим эти уравнения к виду yi
= ci(di − yi
+ 1),(i = 1,2,...,n − 1), где коэффициенты
ci,di вычисляются
по формулам: при i=1
;
при i=2,...,n-2
.
Вычисления производятся в следующем порядке.
ПРЯМОЙ ХОД. По формулам вычисляем значения mi,ki.Находим c1d1 и затем, применяя последовательно рекуррентные формулы, получаем значения cidi при i = 2,...,n − 2 .
ОБРАТНЫЙ
ХОД.Запишем уравнение при i = n,i
= n − 1 и последнее уравнение системы:
.
Решая
эту систему относительно yn,
будем иметь
Используя
уже известные числа cn,dn,cn
− 1dn − 1, находим
yn. Значения yi(i
= n − 1,...,1)получаем из рекуррентных
формул.
Значение y0 находим из предпоследнего уравнения системы: .