![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Оглавление
- •Задача Коши
- •Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов Метод последовательного дифференцирования.
- •Метод неопределенных коэффициентов.
- •Метод последовательных приближений
- •Метод Эйлера
- •Метод Рунге-Кутта
- •Метод Милна
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Метод прогонки
- •Метод конечных разностей для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Метод Галеркина
- •Метод коллокации
- •Примеры решений Примеры реализации численных методов решения систем дифференциальных уравнений
- •Литература
Метод последовательных приближений
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка y' = f(x,y) с начальным условием y(x0) = y0.
Метод
последовательных приближений состоит
в том, что решение y(x) получают как педел
последовательности функций yn(x)
, которые находятся по рекуррентной
формуле
.
Доказано, что если правая часть f(x,y) в
некотором замкнутом прямоугольнике
удовлетворяет
условию Липшица по y:
,
то независимо от выбора начальной
функции последовательные приближения
yn(x) сходятся на некотором
отрезке [x0,x0 + h]
к решению задачи. Если f(x,y) непрерывна
в прямоугольнике R, то оценка погрешности
приближенного решения yn(x)
на отрезке [x0,x0 + h]
дается неравенством
,
где
,
а число h определяется из условия
.
В качестве начального приближения y0(x)
можно взять любую функцию, достаточно
близкую к точному решению. Иногда ,
например, выгодно в качестве y0(x)
брать приближенное решение уравнения
, полученное в виде частичной суммы
степенного ряда.
Метод Эйлера
Метод
Эйлера относится к численным методам
,дающим решение в виде таблицы приближенных
значений искомой функции y(x). Рассмотрим
дифференциальное уравнение y'
= f(x,y) с начальным условием
y(x0) = y0. Выбрав
достаточно малый шаг h, построим систему
равноотстоящих точек xi =
x0 + ih(i = 0,1,2,...). В методе
Эйлера приближенные значения
вычисляются
последовательно по формулам yi
+ 1 = yi + hf(xi,yi)(i
= 0,1,2,...). При этом искомая интегральная
кривая y=y(x) , проходящая через точку
M0(x0,y0),
заменяется ломанной M0M1M2...
с вершинами
;
каждое звено MiMi
+ 1 этой ломанной , называемой ломанной
Эйлера, имеет направление, совпадающее
с направлением той интегральной кривой
уравнения , которая проходит через точку
Mi.
Если
правая часть уравения в некотором
прямоугольнике
удовлетворяет
условиям
,
,
то имеет место следующая оценка
погрешности:
,
где y(xn)-значение точного
решения уравнения при x = xn,
, а yn- приближенное значение,
полученное на n-м шаге.
На
практике иногда оказывается более
удобным двойной просчет : расчет
повторяют с шагом h/2 и погрешность более
точного значения
(при
шаге h/2) оценивают приближенно так:
.
Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.
Рассмотрим систему двух уравнений первого порядка
с начальными условиями y(x0) = y0, z(x0) = z0.
Приближенными
значения
и
вычисляются
последовательно по формулам
Метод Рунге-Кутта
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения y' = f(x,y) с начальным условием y(x0) = y0.
Обозначим через yi приближенное значение искомого решения в точке xi. По методу Рунге-Кутта вычисление приближенного значения yi + 1 в следующей точке xi + 1 = xi + h производятся по формулам
,
где
.
Метод Милна
Пусть
для уравнения y' = f(x,y)
кроме начального условия y(x0)
= y0 известен "начальный
отрезок", то есть значения искомой
функции y(xi) = yi
в точках xi = x0 +
ih,(i = 1,2,3)- их можно найти одним
из методов, изложенных выше. Последующие
значения при i=4,5,... определяются следующим
образом. Для предсказания используется
первая формула Милна
.
Используя
,
находим
и
производим уточнение (коррекцию) по
второй формуле Милна
.
Абсолютная погрешность εi
более точного значения
приближенно
определяется по формуле
.
Эта формула позволяет на каждом шаге
контролировать точность полученного
результата. Если искомое решение
требуется найти с точностью до ε и
окажется, что
,то
можем положить
и
перейти к вычислению yi
+ 1.В противном случае следует уменьшить
шаг h.
Метод Милна можно использовать для приближенного решения систем дифференциальных уравнений первого порядка,ма также уравнений высших порядков, которые предварительно следует преобразовать в такие системы.