3.2 Задачи к третьему разделу.

1. Найти среднею удельную изохорную и изобарную теплоемкости кислорода в интервале температур 1800 -1200° С.

2. Найти среднюю киломольную изохорную теплоемкость кислорода при нагревании его от 0 до 1000° С.

3. В помещении размером 6х5хЗм температура воздуха 27°С при давлении 101 кПа. Найти, количество теплоты, которое нужно отвести, чтобы понизить температуру воздуха до 17°С при том же давлении. Средняя удельная изобарная теплоемкость воздуха 1,004 кДж/(кгхК). Массу воздуха в помещении условно принять постоянной.

3.4. В трубчатом воздухоподогревателе воздух нагревается при постоянном давлении от 10 до 90°С. Найти массовый расход воздуха, проходящего через воздухоподогреватель, если ему сообщается 210 МДж/ч теплоты.

3.5. Найти количество теплоты, необходимое дд_я нагревания, при постоянном объеме, 10кг азота от 200 до 800°С.

3.6 Воздух, содержащийся в баллоне емкостью 12,5 м³ при температуре 20^ЭС и давлении 1 МПа, подогревается до температуры 180° С. Найти подведенную теплоту.

7. Определить объемную теплоемкость двухатомного газа в изохорном процессе при давлении 150кПа и температуре 25°С (c=const).

8. Температура смеси, состоящей из азота массой 3 кг и кислорода массой 2 кг, в результате подвода к ней теплоты при постоянном объеме повышается от 100 до 1100°С. Определить количество подведенной теплоты (при c=const).

9. Состав продуктов сгорания бензина в цилиндре двигателя, внутреннего сгорания в молях следующий: углекислого газа (СО₂) - 71,25, кислорода (0₂) - 21,5; азота (N₂) - 488,3; паров воды (Н₂О) - 72,5 при температуре этих газов 800° С. Определить долю тепловых потерь с уходящими газами, если теплота сгорания бензина 43950 кДж/кг.

10. Газовая смесь состоит из 2 кг углекислого газа, 1 кг азота, 0,5 кг кислорода. Найти среднюю киломольную изобарную теплоемкость смеси в интервале температур 200-800°С.

11. Состав отработавших газов двигателя внутреннего сгорания в молях следующий: СО₂- 74,8; Н₂О - 68; О₂ - 119; N₂ - 853. Найти количество теплоты, выделяемой этими газами при понижении их температуры _От 380 до 20°С, при постоянном давлении.

12. Найти средние изобарную и изохорную киломольные теплоемкости продуктов сгорания топлива при охлаждении их от 1100 до 300°С. Объемные доли компонентов этих продуктов сгорания следующие; СО₂ - Г] = 0 090' Н₂О - г₂ = 0,083; О₂ - г₃ = 0,069; N₂ - г₄ = 0,758.

13. Определить количество тепла, которое необходимо подвести к газу, находящемуся в металлическом баллоне, чтобы восстановить первоначальное давление после выпуска 20% газа. Начальные параметры газа: У|=0,3м³, Р|=3ат, т,=1кг, с_¥=0,7кДж/(кгхК), К=0,25кДж/(кгхК). Температура газа после выпуска равна первоначальной.

4. Первый закон термодинамики. Термодинамические процессы.

4.1. Общие положения.

При воздействии на рабочее тело внешней среды (сжатие или расширение, подвод или отвод тепла) происходит изменение его состояния.

Последовательное изменение термодинамического состояния системы называется термодинамическим процессом.

Изучение всей совокупности термодинамических процессов является одной из основных задач термодинамики. Математические зависимости, определяющие характер протекания термодинамического процесса и устанавливающие взаимосвязь параметров состояния в различные моменты времени, справедливы для обратимых процессов.

Обратимым называется процесс, который, как в прямом так и в обратном направлениях, последовательно проходит через ряд одинаковых равновесных состояний, но при обратном процессе в обратной последовательности.

Равновесным называется состояние, при котором температура и давление для всего рабочего тела одинаковы.

Обратимые термодинамические процессы являются идеальными и происходят с идеальными газами. Закономерности идеальных термодина­мических процессов можно использовать при технических расчетах в реальных процессах, вводя характерные для этих процессов поправки. Как говорилось выше, термодинамические процессы протекают при воздействии внешней среды.

Согласно первого закона термодинамики, при подводе к рабочему телу тепла может быть совершена работа численно равная теплу и наоборот.

В общем случае тепло, подведенное к рабочему телу, идет на изменение внутренней энергии и на совершение внешней работы.

Изменение внутренней энергии характеризуется изменением кинетической энергии молекул и для идеальных газов зависит от изменения температуры рабочего тела и вида газа.

Внешняя работа зависит от изменения давления и удельного объема. Уравнение связывающее изменение внутренней энергии, внешней работы и тепла в тепловом процессе, называется математическим выражением 1-го закона термодинамики, и имеет вид: для I кг газа

q = ∆u + l,, Дж/кг

для произвольного количества газа

Q = m(∆u + l), Дж

где: q, Q - тепло участвующее в процессе с количеством газа;

m - масса газа, кг;

∆u - изменение внутренней энергии, Дж/кг;

l - внешняя работа, Дж/кг; ,

Вся совокупность процессов носит название политропных (pvⁿ = const).

Но в термодинамике выделяется, так называемая, группа основных процессов, имеющая важное теоретическое и практическое значение при исследованиях. К этим процессам относятся:

• изохорный, протекающий при постоянном объеме (v = const);

• изобарный, протекающий при постоянном давление (р = const);

• изотермический, протекающий при постоянной температуре (pv = const);

• адиабатный, протекающий без теплообмена с внешней средой (pv^k = const).

В скобках указаны математические уравнения графиков процессов в p-v координатах.

При исследовании термодинамических процессов решается ряд задач: значение и соотношение параметров состояния в процессе, теплоемкость процесса, изменение внутренней энергии, внешняя работа процесса и тепло процесса. Кроме этого для политропных процессов, не входящих в группу основных, определяется показатель политропы, позволяющий отличить данный процесс от других.

4.2 Значение и соотношение параметров в термодинамических процессах.

В основном, значение параметров состояния в процессе определяется из соотношений, которые для различных процессов выглядят следующим образом:

• изохорный процесс из выражения (1.16);

• изобарный процесс из выражения (1.20);

• изотермический процесс из выражения (1.18);

• адиабатный процесс:

_{k 1/k}

(4.3)

(1-k)/k

(4.4)

k-1

(4.5)

где: k – показатель адиабаты,

k = c_p/c_v

- политропный процесс

n 1/n (4.6)

_(n-1)/n

(4.7)

_n-1

(4.8)

где: n – показатель политропы

(4.9)

с, c_p, c_v - соответственно, теплоемкости политропного, изобарного и изохорного процессов.

4.3. Теплоемкость в термодинамических процессах.

Теплоемкость, в любом процессе, может быть определена по теплу и вызванному этим теплом изменением температур по формулам (3.1; 3.2).

Теплоемкости в изохорном и изобарном процессах при с= const может быть определена с использованием уравнений (3. 12 и 3. 13).

Так как изменение температур в изотермическом процессе равна нулю, то теплоемкость с= ±∞.

В адиабатном процессе, осуществляемом без теплообмена с=0. Теплоемкость политропного процесса определяется по зависимости:

с = с_v/α (4.10)

где: α - доля тепла процесса, идущего на изменение внутренней энергии,

α =∆u/q (4.11)

Значение коэффициента а для данного типа газа может быть определено как функция показателя политропы

α =(n-l)l(n-k) (4.12)

Подставляя значение а в формулу (4.10) уравнение теплоемкости политропного процесса будет иметь вид:

с = c_v × (n-k)/(n-l) (4.13)

4.4 Изменение внутренней энергии.

Изменение внутренней энергии не зависит от характера протекания процесса и для идеальных газов зависит только от типа газа и изменения температуры.

В любом термодинамическом процессе (за исключением изотермического, где AU= 0) изменение внутренней энергии I кг газа оп­ределяется по формуле:

∆u = c_v×(T₂-T₁) (4.14)

с_v- изохорная массовая теплоемкость газа, участвующего в процессе. 4.5. Внешняя работа.

Внешняя работа термодинамического процесса зависит от характера его прохождения. Математические зависимости работы 1 кг газаосновных и политропных термодинамических процессов имеют вид:

- изохорный процесс;

l =0 (нет изменения объема)

- изобарный процесс

l = p(v₂ – v₁) или l = R(T₂ – T₁) (4.15)

-изотермический ( по одной из зависимостей)

l = p₁v₁ln(v₂/v₁);

l = p₁v₁ln(v₂/v₁);

l = p₁v₁ln(p₂/p₁);

l = RT×ln(v₂/v₁);

l = RT×ln(p₂/p₁). (4.16)

- адиабатный процесс

l = (p₁v₁ – p₂v₂)/(k – 1);

l = R(T₁ – T₂)/(k – 1);

_k-1 ;

_(k-1)/k

; (4.17)

- политропный процесс

l = (p₁v₁ – p₂v₂)/(n – 1);

l = R(T₁ – T₂)/(n – 1);

_n-1

_(n-1)/n

(4.18)

Внешняя работа 1кг газа в любом термодинамическом процессе может быть определена по формуле, полученной из первого закона термодинамики (4.1) и коэффициента α (4.11)

l = q(1 –α) (4.19)

4.6. Тепло термодинамического процесса.

Тепло подводимое (отводимое) к рабочему телу может быть определено по нескольким зависимостям:

- по формулам (3.4,3.6,3.8), используя теплоемкость соответствующего процесса;

- по уравнению первого закона термодинамики (формулы 4.1 или 4.2);

- по формуле вытекающей из 4.11 или 4.19

q = ∆U/α; q = l/(l-a) (4.20)

Коэффициент а для основных термодинамических процессов имеет следующие значения:

- изохорный α=1

- изобарный α=1/к

- изотермический α=0

- адиабатный α= ±∞.

Одним из дополнительных параметров состояния газа является энтальпия, представляющая сложную функцию основных параметров. Значение энтальпии для 1кг газа определяется выражением:

i = u+pv (4.21)

Более важное значение имеет не абсолютное значение энтальпии а ее изменение:

∆i = С_p∆T или di = C_pdT (4.22)

для произвольного количества газа

∆I = mc_p∆T (4.23)

Из выражений (4.22 и 4.23) видно, что изменение энтальпии и тепло в изобарном процессе равны между собой. Изменение энтальпии 1кг газа не зависит от характера протекания процесса и в любом термодинамическом процессе является функцией изобарной теплоемкости и изменения температуры.

4.1 Указания к решению задач четвертого раздела.

При решении задач связанных с термодинамическими процессами возможно использование математических зависимостей как данного раздела, так и трех предыдущих,

Принцип решения задач такой же, как и при решении задач предыдущих разделов.

В начале записываются математические зависимости величин, которые необходимо определить по условию задачи. Если, после анализа уравнения, неизвестных окажется больше одного, то лишние неизвестные определяют, по соответствующим, формулам, используя дополнительные значения задачи.

Пример 4.1.

Изменение внутренней энергии 1 кг газа в термодинамическом процессе, протекающем при постоянном давлении равно 200 кДж. Начальная температура газа 15°С. Изобарная теплоемкость 1 кДж/(кгхК) молекулярная масса равна 30. Теплоемкость с = const. Определить температуру в конце процесса.

Решение:

1. Конечную температуру можно определить из уравнения внутренней энергии (4.14)

∆u = с_v(T₂ – T₁); => Т₂ = Т₁ + (∆u/c_v)

В уравнении лишнее неизвестное - изохорная теплоемкость.

2.Изохорную теплоемкость можно определить из уравнения 3.10. c_v = c_p – R = c_p -(R_y/μ)=(1- 8,314/30) = 0,723 кДж/(кг×К)

Начальная абсолютная температура

T₁ = 273 + t°C = 273 + 15 = 288 К, следовательно

Т₂ = 288 + (200/0,723) = 565К.

Пример 4.2.

Определить тепло, отводимое от 1кг газа при изотермическом сжатии. Начальные параметры газа: манометрическое давление 0,5 ат, удельный объем 1,0 м3/кг, атмосферное давление 700 мм. рт. ст. Плотность газа в конце сжатия 2,5 кг/м3.

Решение:

1. В изотермическом процессе отводимое тепло равно работе сжатия

l = q.

2. Работа сжатия может быть определена по одной из формул (4.16) l =p₁v₁ln(v₂/v₁).

3. Абсолютное давление в начале сжатия

p₁ = p_м + p_pmgh_cm = 0.5×98100 + 13546×9.81×0.7 = 142.44 кПа

4. Конечный удельный объем

v₂ = 1/p = 1/2.5 = 0.4 м³/кг

l = 142.44×1.0×ln(0.4/1.0) = -130.52 кДж/кг

Отрицательное значение работы говорит о том, что процесс обратный и работа совершается над газом внешними силами.

Пример 4.3.

В баллоне вместимостью 15л содержится воздух под давлением 0,4 МПа и при температуре 30 °С. Какова температура воздуха в результате подвода к нему 16 кДж теплоты? Удельная изохорная теплоемкость С_v=736 Дж/(кгхК).

Решение:

Предварительно вычислим массу воздуха т. Из уравнения состояния имеем

m=р₁У/(RТ₁).

Так как для воздуха R= 287 Дж/(кгхК) (таблица 2.1), то

m = 0,4х10⁶хО,015/(287х303) = 0,069 кг.

2. Процесс протекает при постоянном объеме, поэтому конечную температуру ?2 найдем из уравнения (5.1): Q_1,2 = mc_v(t₂-t₁), откуда

t₂ = t₁ + Q_1,2 /(c_v×m) = [30 + 16х10³/(0;069 х736)]= 366°С.

Пример 4.4.

Воздух массой 2 кг, при давлении р₁ = 1 МПа и температуре t₁ = 300°С, расширясь по адиабате увеличивает объем в 5 раз. Найти конечные объем, давление, температуру, работу и изменение внутренней энергии.

Решение. Находим начальный объем газа V\t из уравнения состояния:

V₁ = mRT₁/p₁.

Удельная газовая постоянная воздуха равна R_возд = 287,1 Дж/(кгхК), поэтому

V₁ =2x287,lx573/(lx10⁶) = 0,33м³.

По условию конечный объем V₂ = 5V₁, поэтому V₂ = 1,65 м³.

Находим конечное давление p₂ из уравнения (4.3):

p₁/p₂ = (V₂/V₁)^k.

Примем для воздуха значение показателя адиабаты k = 1,4 (как для смеси двухатомных газов), тогда p₁/p₂ = 5^1.4 = 9,52. Отсюда р₂ =p₁/9,52 = 0,1 МПа.

Воспользовавшись уравнением состояния, найдем конечную температуру

T₂=p₂V₂/mR = 0,1 х10⁶х1,65(2x287,1) = 287 К или t₂= (287 - 273) °С = 14° С.

Для вычисления работы L используем уравнение 4.17:

L=mR(t₁-t₂)/(k- 1) = 2x287,1 (300- 14)/(1,4- 1) = 411 кДж.

Изменение внутренней энергии в адиабатном процессе равно работе, поэтому

U₂ – U₁ = - L = -411 кДж.

Пример 4.5.

Воздух, с начальным объемом 8 м³ и начальной температурой

t₁ = 20°C сжимается по политропе, с показателем и =1,2, от давления

р₁ = 0,09 МПа до давления р₂ = 0,81 МПа. Найти конечные температуру, объем воздуха и работу.

Решение 1. Находим конечную температуру из уравнения (4.7)

Т₂ = T₁(p₂/p₁)^(n-1)/n = 423 К

2. Определяем конечный объем V2, руководствуясь уравнением (1.12)

p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂

V₂ = (p₁V₁/T₁)( T₂/p₂) = 1.28 м³

3. Находим работу изменения объема:

L_1,2 = (P₁V₁ – р₂ V₂)/(n - 1) = -1,58 МДж

Пример 4.6.

Процесс расширения газа происходит по политропе с показателем

n = 0,8. Определить условия протекания процесса.

Решение: В данном процессе n <1. Следовательно, линия процесса должна располагаться не только выше адиабаты, но и выше изотермы, а поэтому теплота к газу должна подводиться, температура повышаться, а внутренняя энергия увеличиваться. Это означает, что теплота подводится к газу извне в большем количестве, чем это нужно для совершения работы, поэтому часть подведенной теплоты идет на увеличение его внутренней энергии.