Образцы решения заданий

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 7

Контрольная работа № 7 состоит из пяти задач. Ниже рассмотрены варианты решения заданий.

Образец выполнения заданий № 271 – 280.

Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию

Решение. Преобразуем уравнение: , . Это линейное уравнение 1 порядка. Сделаем замену .

Тогда , .

Составим систему

Решаем первое уравнение: , , , , (при решении этого уравнения постоянную интегрирования можно не писать), . Подставим во второе уравнение, и решим его.

, , , , .

Следовательно - общее решение дифференциального уравнения. Для нахождения частного решения применим условия , т.е. подставим , в общее решение: , отсюда .

Значит - частное решение дифференциального уравнения.

Образцы выполнения заданий № 281 – 290.

1. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , .

Решение. Уравнение не содержит , поэтому делаем замену ( ). Тогда , , , , , , , , , - общее решение дифференциального уравнения.

Чтобы найти частное решение, используем начальные условия. Имеем

отсюда

Значит, искомое частное решение таково: .

2. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Уравнение не содержит , поэтому делаем замену . Тогда , , , , , , или , , , , , = общее решение дифференциального уравнения.

Переходим к нахождению частного решения. Имеем

Подставив сюда начальные условия, получим

Второе равенство удовлетворяется, если взять знак «+». Тогда , .

Отсюда - частное решение дифференциального уравнения.

Образец выполнения заданий № 291 – 300.

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

Решение. Сначала найдем общее решение , где - решение соответствующего однородного уравнения, - частного решение.

Составляем характеристическое уравнение и находим его корни , где - минимальная единица.

Отсюда .

Частное решение ищем в таком виде, который соответствует правой части исходного уравнения, а именно .

Чтобы найти А, В, подставим это выражение в исходное уравнение

.

Вычислив производные и упростив левую часть, получим

, отсюда будем иметь систему

, решение которой , .

Следовательно ,

.

Производная этой функции равна

.

Подставим начальные условия: при , , . Получим

, ,

отсюда

, .

Ответ: частное решение таково

.

Образец выполнения заданий № 301 – 310.

Уменьшение интенсивности света, прошедшего через слой какой-либо среды, пропорционально толщине слоя и интенсивности падающего на него света. Известно, что при прохождении через слой толщины 1 см интенсивность уменьшается в 2 раза. Во сколько раз уменьшится интенсивность при прохождении через слой толщины 5 см?

Решение. Пусть - интенсивность света, падающего внутри среды на поверхность, координата которой х (рис. 1). Согласно условию, при прохождении через последующий бесконечно тонкий слой dx начальная интенсивность уменьшится на величину

,

Рисунок 1

где - коэффициент пропорциональности. Найдем общее решение этого уравнения

, , , (А)

Возьмем произвольный слой , толщина которого 1 см. Пусть при , тогда по условию при будет . Подставив эти значения в (А), получим , отсюда находим , . Подставив эти значения в (А), получим . Возьмем - поверхность, удаленная от начальной на 5 см. Тогда интенсивность будет равна . Отношение исходной интенсивности к конечной равно

, т.е. интенсивность уменьшилась в 32 раза.

Образец выполнения заданий № 311 – 320.

Найти общее решение системы .

Решение. Из первого уравнения находим (А), подставим во второе уравнение , , - получилось линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет корни , , поэтому . Подставив в (А), получим . Следовательно, общее решение системы имеет вид , .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8

Контрольная работа № 8 состоит из пяти задач. Ниже рассмотрены варианты решения заданий.

Образец выполнения заданий № 321 – 330.

Исследовать на сходимость числовой ряд .

Решение. Проверяем сходимость ряда по признаку Даламбера. Имеем

, отсюда ,

Получилось , следовательно наш ряд сходится.

Образец выполнения заданий № 331 – 340.

Найти интервал сходимости степенного ряда .

Решение. Имеем

, отсюда ,

.

Потребуем, чтобы было ; тогда , , . Таким образом, внутри интервала исходный ряд сходится абсолютно. Исследуем сходимость на концах этого интервала.

При исходный ряд становится числовым:

; сравним этот ряд с рядом , который расходится:

- получилось число больше 0, поэтому ряд подобен ряду , т.е. расходится.

При исходный ряд становится таким:

- знакочередующийся ряд, который нужно исследовать по признаку Лейбница. Сравним с :

при больших ; таким образом , т.е. члены ряда уменьшаются по абсолютной величине. Кроме того

, т.е. члены ряда стремятся к 0. Следовательно, знакочередующийся ряд сходится. Таким образом - интервал сходимости исходного степенного ряда.

Образец выполнения заданий № 341 – 350.

Вычислить интеграл с точностью до путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд.

Решение. Применим формулу разложения в ряд

Тогда

.

Образец выполнения заданий № 351 – 360.

Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции , являющейся частным решением дифференциального уравнения , .

Решение. Искомое решение имеет вид

(А)

Имеем

, отсюда

, отсюда

Подставив эти значения в (А), получим ответ

Образец выполнения заданий № 361 – 370.

Функцию в интервале (0, 3) разложить в ряд: а) косинусов, б) синусов.

Решение.

а) Разложение в ряд косинусов имеет вид , где , .

В нашем случае интервал (0, 3) имеет длину , поэтому

,

. Поэтому .

Это выражение можно упростить, если заметить, что

Тогда .

б) Разложение в ряд синусов имеет вид , где

.

В нашем случае

.

Поэтому . Ввиду того, что , это равенство можно записать так .