- •Однородные системы
- •[Править]Пример
- •[Править]Неоднородные системы
- •[Править]Пример
- •Ранг системы векторов. Базис системы векторов
- •Алгоритм Гаусса для нахождения ранга и базиса системы векторов
- •Линейная независимость
- •[Править]Пример
- •[Править]Определение
- •[Править]Свойства
- •[Править]Значение
- •Подкольцо
- •Комплексное число
- •Определения
- •Стандартная модель
- •Матричная модель
- •Замечания
- •Действия над комплексными числами
- •Геометрическая модель
- •Связанные определения
- •Модуль и аргумент
- •Сопряжённые числа
- •Представление комплексных чисел Алгебраическая форма
- •Тригонометрическая и показательная формы
- •Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел
- •История
- •10.1 Комплексные числа
- •10.1.1 Алгебраическая форма комплексных чисел
- •10.1.3 Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •10.3 Производная от функции комплексной переменной
- •10.4 Условия Коши-Римана
- •10.5 Интеграл от функции комплексной переменной
- •10.6 Интегральные формулы Коши
- •Определитель
- •[Править]Определение через разложение по первой строке
- •[Править]Определение через перестановки
- •[Править]Альтернативные методы вычисления
- •[Править]Свойства определителей
- •[Править]Алгоритмическая реализация
- •2. Деление с остатком. Теорема Безу
- •Неприводимый многочлен
- •[Править]Определение
- •[Править]Свойства
- •[Править]Примеры
- •[Править]Связанные определения
- •[Править]Примеры
- •[Править]Свойства
- •[Править]История
- •Трисекция угла
- •[Править]Построения с помощью дополнительных средств
- •[Править]Трисекция угла при помощи невсиса
Комплексное число
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Запрос «Мнимая величина» перенаправляется сюда; см. также другие значения.
Запрос «Re» перенаправляется сюда; см. также другие значения.
Запрос «Im» перенаправляется сюда; см. также другие значения.
Ко́мпле́ксные[1] чи́сла (устар. Мнимые числа[2]), — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и — вещественные числа, — мнимая единица[3].
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии,квантовой механике, теории колебаний и многих других.
Определения
Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена .
Стандартная модель
Комплексное число можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел . Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:
Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой единица — а мнимая единица — На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен , то есть
Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно.
Матричная модель
Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида
с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать
мнимой единице —
Замечания
Ошибочно определение числа как единственного числа, удовлетворяющего уравнению , так как число также удовлетворяет этому уравнению.
Следует также заметить, что выражение , ранее часто использовавшееся вместо , не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до конца XIX века запись вроде считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как . Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:
в то время как правильная запись приводит к иному ответу: