[Править]Построения с помощью дополнительных средств

• Хотя трисекция угла в общем случае невыполнима с помощью циркуля и линейки, существуют кривые, с помощью которых это построение можно выполнить. Улитка Паскаля или трисектриса, Квадратриса (в древности тоже называлась трисектрисой), Конхоида Никомеда, Конические сечения, Спираль Архимеда.

• Трисекция возможна при построении с помощью плоского оригами

[Править]Трисекция угла при помощи невсиса

Рис. 1. Трисекция угла с помощью невсиса

Рис. 2. Трисекция угла (доказательство)

Невсис позволяет достаточно просто решить задачу трисекции произвольного угла.

Предположим, что имеется угол α = POM (рис. 1). Необходимо построить угол β, величина которого втрое меньше данного: α = 3β.

Продолжим сторону OM исходного угла и построим на ней как на диаметре окружность произвольного радиуса a с центром в точке O. Стороны угла пересекаются с окружностью в точках P и M. Возьмём линейку невсиса, отложив на ней диастему a, и используя прямую OM в качестве направляющей, точку P в качестве полюса, а полуокружность в качестве целевой линии, строим отрезок AB. Получим угол PAM, равный одной трети исходного угла α.

Доказательство

Рассмотрим треугльник ABO (рис. 2). Так как AB = BO = a, то треугольник равнобедренный, и углы при его основании равны: ∟BAO = ∟BOA = β. Угол ∟PBO как внешний угол треугольника ABO равен 2β.

Треугольник BPO также равнобедренный, углы при его основании равны 2β, а угол при вершине γ = 180°-4β. С другой стороны, γ = 180°-β-α. Следовательно, 180°-4β = 180°-β-α и α = 3β.