32. Что такое – свойство функциональной полноты системы логических функций. Какие совокупности логических функций обладают свойством функциональной полноты.

Функциональная полнота – свойство системы элементов реализовать любую, сколь угодно сложную ФАЛ; реализуется функционально полным набором логических элементов. Свойством функциональной полноты (способностью представлять формулами все истинностные функции) обладают и другие системы логических связок. Основная функционально полная система логических функций. Наибольшее распространение получил набор, состав которого входят три логические функции: f₁₀ —  инверсия (логическая связь НЕ, логическое отрицание); f₁ — конъюнкция (логическая связь И, логическое умножение), f₇ — дизъюнкция (логическая связь ИЛИ, логическое сложение). Этот набор получил название функционально полной системы логических функций (ОФПС). Из теоремы о функциональной полноте следует, что основная функционально полная система логических функций является избыточной, так как условиям теоремы отвечают наборы функций f₁₀ и f₁ или f₁₀ и f₇. Из определения представления переключательной функции в виде дизъюнктивной или конъюнктивной нормальной формы следует, что эти представления реализуются в основной функционально полной системе логических функций.

33. Теорема де Моргана и дуальные изображения логического элемента с несколькими входами. Для чего могут быть полезны дуальные изображения лэ?

Теорема де Моргана может применятся к различным членам выражения, и способы её использования изменяются в зависимости от вида выражения. Сама теорема не является самодостаточной – она всегда работает совместно с базовыми тождествами булевой алгебры. Функция А+В может равняться 0 только в одном случае: когда обе переменные А и В, одновеременно равны 0. Во всех других случаях А+В=1. Точно также функция АИ может равняться 1 тогда, когда и переменные равны 1. Очевидно, что между операциями И и ИЛИ должно существовать простое соотношение. Равенство НЕ(А)+НЕ(В)=0 верно только в том случае, когда А=1, В=1 => НЕ(А)+НЕ(В)= НЕ(АВ) и дуальное ему выражение НЕ(АВ)= НЕ(А+В) будут справедливы. Эти важные соотношения известны под названием теоремы де Моргана. Теорема де Моргена является чуть ли не основным способом уменьшения логических выражений. Как известно, она наиболее эффективна в тех случаях, когда приходится иметь дело со сложными функциями, включающими многоуровневые инверсии. Многократное применение теоремы Моргана позволяет значительно уменьшить число уровней. Чтобы запомнить порядок действий при применении теоремы де Моргана, следует усвоить простое правило: если над выражением, выражающим члены, связанные оператором (И или ИЛИ), есть общая длинная черта инверсии, то можно разбить её на две части, одновременно изменив оператор между членам. Аналогично, если над разными членами выражения, связанные оператором, стоит несколько отдельных символов инверсии, то можно объединить их и изменить оператор. Дуализм. Если в таблице истинности операции И заменить все нули на единицы, а все единицы – на нули, то получается таблица истинности операции ИЛИ. Таким образом, если имеется схема, реализующая функцию И в рамках позитивной логики, когда логический 0 представлен напряжением 0В, а логическая 1 – напряжением 5В, то та же схема в случае использования отрицательной логики при работе с указанными уровнями напряжения будет реализовывать функцию ИЛИ. При этом в схему не потребуется вносить никаких изменений. Точно также вентиль ИЛИ из схемы с положительной логикой превратится в вентиль И, когда его перенесут в схему с отрицательной логикой. Вентиль НЕ остаётся инвертором независимо от типа логики. Для получения дуального равенства следует просто заменить все операции ИЛИ на операции И, а все операции И на операции ИЛИ, а также все нули на единицы, а все единицы на нули.