Что делать, когда имеется слишком мало ограничений
Если количество ограничений меньше, чем количество переменных, Mathcad вообще не может выполнить блок решения уравнений. Mathcad помечает в этом случае функцию Find сообщением об ошибке “слишком мало ограничений”.
Задача, аналогичная той, которая приведена на Рисунке 12, называется недоопределенной. Ограничений в ней меньше, чем переменных. Поэтому ограничения не содержат достаточной информации для поиска решения. Поскольку функция Find имеет пять аргументов, Mathcad определяет, что требуется решить два уравнения с пятью неизвестными. Вообще говоря, такая задача обычно имеет бесконечное число решений.
При использовании блока решения уравнений в Mathcad необходимо задать количество уравнений по крайней мере не меньшее, чем число искомых неизвестных. Если зафиксировать значения некоторых переменных, удастся решить уравнения относительно оставшихся переменных. На Рисунке 13 показано, как, зафиксировав часть переменных, решить недоопределенную задачу из Рисунка 12. Поскольку функция Find содержит только два аргумента, z и w, Mathcad определяет переменные x, y и v как имеющие фиксированные значения 10, 50 и 0 соответственно. Блок решения уравнений становится в этом случае корректно определенным, потому что теперь имеются только две неизвестных, z и w, и два уравнения.
Рисунок 12: Функция Find имеет пять аргументов, поэтому Mathcad определяет, что требуется решить два уравнения с пятью неизвестными.
Рисунок 13: Проблема может быть решена, если уменьшить количество аргументов функции Find.
Этот раздел содержит некоторые советы по поводу эффективного использования процедур Mathcad, предназначенных для решения систем уравнений. Описана техника решения уравнений, содержащих параметр.
Многократное решение уравнений
Методы, описанные до сих пор, эффективно позволяют решать конкретную систему уравнений. Однако они имеют следующие два ограничения:
Как только используется имя функции Find, это означает, что блок решения уравнений завершён. Если употребить эту функцию еще раз, появится сообщение об ошибке “нет соответствующего Given”.
Если в системе уравнений нужно изменить значения некоторых параметров или констант, чтобы изучить их влияние на решение системы, необходимо вернуться обратно в блок решения уравнений, чтобы изменить их.
Оба эти ограничения могут быть преодолены, если прибегнуть к возможности Mathcad определять функции с использованием блока решения уравнений.
Если определить функцию с использованием функции Find в правой части этого определения, то определенная таким образом функция будет решать систему уравнений каждый раз, когда она вызывается. Таким образом можно преодолеть первое ограничение.
Если эта функция имеет в качестве аргументов те параметры, которые требуется изменять при решении уравнений, можно просто изменять значения аргументов этой функции. Это преодолевает второе ограничение.
На Рисунке 14 приведен конкретный пример. Коэффициент трения трубки f зависит от диаметра трубки D, шероховатости и числа Рейнольдса R. Было бы неплохо экспериментировать с различными размерами трубки (D), сделанной из различных материалов с различной шероховатостью ().
Уравнение на Рисунке 14 показывает связь между этими параметрами. Учитывая вид уравнения, можно отметить, что аналитически выразить значение величины f через R, D и нельзя.
Можно, однако, определить функцию с использованием блока решения уравнений. Всякий раз, когда вычисляется функция , Mathcad подставляет заданные конкретные значения аргументов , D и R в блок решения уравнений, решает уравнение относительно неизвестного f и возвращает найденное значение корня.
Рисунок 14: Определение функции с использованием блока решения уравнений.
Предположим, что зафиксированы размер трубки и ее материал (D и ), и нужно исследовать зависимость трения от значений числа Рейнольдса. Хотя функция на Рисунке 14 была определена с использованием блока решения уравнений, она обладает теми же самыми свойствами, что и любая другая функция. Её можно также использовать с дискретным аргументом.
На Рисунке 15 показано, как решать задачу и построить график зависимости коэффициента трения от числа Рейнольдса. Обратите внимание, что, когда вместе с блоком решения уравнений используется дискретный аргумент, Mathcad фактически решает систему уравнений для каждого значения дискретного аргумента. В результате такой тип вычислений может потребовать значительное количество машинного времени.
Рисунок 15: Вектор решений.
Предыдущий пример включает в себя только одно уравнение с одним неизвестным. Также возможно многократно решать и систему уравнений при различных значениях входящих в нее параметров. Однако в этом случае требуется проявить аккуратность при выводе результата, чтобы избежать сообщения об ошибке “нескалярная величина”.
Пример, приведенный на Рисунке 16, является параметризацией задачи из Рисунка 10. Предположим, что ищется пересечение прямой и окружности переменного радиуса R. Аналогично примеру, приведенному на Рисунке 15, можно определить функцию с использованием блока решения уравнений. В этом случае функция может быть определена следующим образом: F(R) := Find( x, y). Эта функция возвращает вектор значений, элементы которого — x и y — содержат координаты точки пересечения.
Основное отличие от предыдущего примера состоит в том, что определенная таким образом функция для каждого значения параметра R возвращает вектор, состоящий из двух элементов. Если попытаться вывести найденный ответ, печатая F(R)=, то это будет попытка вывести таким образом не таблицу чисел (скаляров), а таблицу, каждый элемент которой является вектором, состоящим из двух элементов. Поэтому Mathcad не может вывести ответ на экран и появляется сообщение об ошибке “нескалярная величина ”.
Решение этой проблемы состоит в раздельном отображении таблиц для разных элементов вектора F(R)0 и F(R)1. Напечатав F(R)[0=, получаем таблицу всех значений x — абсцисс точек пересечения. Аналогично, напечатав F(R)[1=, получаем таблицу всех значений y — ординат точек пересечения прямой и окружности.
Рисунок 16: Как вывести три решения, каждое из которых является вектором, состоящим из двух элементов.