Многократные вычисления по дискретному аргументу

Простейший вид многократных вычислений в Mathcad — простое обобщение скалярных вычислений. Любое вычисление, которое можно выполнить один раз, можно выполнить и над диапазоном значений.

Например, предположим, что необходимо создать список значений x и y для точек на кривой r = cos() + 1. Идея состоит в следующем:

•  должен принимать значения между 0 и 2 .

• Для каждого  соответствующее значение r дается формулой   r = cos() + 1.

• Для каждых r и  соответствующие декартовы координаты x и y даются формулами x = r cos() и y = r sin().

Рисунок 6: Переход от полярных к декартовым координатам.

Рисунок 7: То же самое, что и на рисунке 6, но с использованием функций.

Рисунок 8: Использование оператора векторизации для создания полярного графика.

Стратегия решения этой проблемы проста: создайте дискретный аргумент i  и затем вычислите , r, x и y для каждого значения i. Формула для определяет  для значений от 0 до 2 с шагом 2/N . Для создания остальных формул только проставьте индекс i при каждой переменной в формуле. Рисунок 6 показывает результат.

Обратите внимание, что в этом примере i, а не , определен как дискретный аргумент. Поскольку i принимает только целочисленные значения, это — допустимый нижний индекс. С другой стороны,  принимает дробные значения, следовательно, она не может использоваться как нижний индекс. Во многих случаях возможно избежать этого дополнительного шага, используя функции вместо векторов. Рисунок 7 показывает, как создать кардиоиду, показанную на Рисунке 6, при помощи функций вместо векторов.

Используя векторную запись и оператор векторизации, удаётся избежать использования нижнего индекса в последних трех уравнениях из Рисунка 6. Рисунок 8 показывает пример того, как это достигается.

Формулы, которые используют векторную запись вместо нижних индексов, обычно вычисляются намного быстрее. Более подробно см. Главу “Векторы и матрицы”.

Множественные дискретные аргументы и двойные индексы

Если в формуле используется два дискретных аргумента, Mathcad пробегает через каждое значение каждого дискретного аргумента. Это можно использовать для определения матриц. Например, чтобы определить матрицу x размера 5x5, где x_i,j = i + j, напечатайте формулы:

i:0;4 j:0;4 x[i,j:i+j

Обратите внимание, что не нужно печатать [Space], чтобы покинуть нижний индекс в этом случае. Напечатав : , Вы одновременно покидаете нижний индекс и создаете символ определения.

Рисунок 9 показывает результат печати вышеупомянутых формул. Обычно лучше всего отобразить матрицу в форме, показанной на Рисунке 9. Если вместо того, чтобы напечатать x=, записать x[i,j=, Mathcad отобразит одну длинную таблицу вывода с 25 числами. Такую таблицу часто трудно интерпретировать. Подобная проблема возникает, когда в графике используется пара дискретных аргументов.

Выражение для x_i,j вычисляется для каждого значения каждого дискретного аргумента, всего 25 вычислений. Результат — матрица, показанная внизу рисунка, с 5 строками и 5 столбцами. Элемент в i-ой строке и j-ом столбце этой матрицы равен i + j.

Рисунок 9: Определение матрицы.

Обратите внимание, что, если два дискретных аргумента имеют значения m и n соответственно, формула, использующая оба дискретных аргумента, будет вычислятьcя m n раз. Если использовать два дискретных аргумента в таблице вывода, Mathcad покажет эти m n результата в длинной таблице с ячейкой для каждого результата. Если два дискретных аргумента используются в графике, Mathcad отобразит по одной точке для каждого из m n  результатов.

Рекурсивные вычисления применяются для решения конечно-разностных уравнений типа тех, которые возникают в задачах вычисления сложного процента, Марковских процессах и многих уравнениях фазовых состояний. Они могут также использоваться для получения приближенных решений для некоторых дифференциальных уравнений. В рекурсивных вычислениях определяется первый элемент массива и затем вычисляются последовательные элементы, основанные на первом элементе. Этот раздел описывает три типа рекурсивных вычислений: с одиночной переменной, с множественными переменными, и с вектором.

Рекурсивные вычисления с одной переменной

Классический метод для вычисления квадратных корней состоит в следующем:

• Чтобы найти , начните с предполагаемого значения, которое можно рассматривать как приближение к истинному.

• Вычислите новое приближение, основанное на старом приближении, по формуле

.

• И так далее, пока приближения не сойдутся к ответу.

Рисунок 10 показывает, как выполнить этот метод в Mathcad.

Рисунок 10: Использование рекурсивных вычислений для вычисления квадратного корня.

Характерные особенности этого примера:

• Начальное значение определено как нулевой элемент массива, guess₀.

• Каждый элемент guess_i+1 определяется через предыдущий.

Зависимость элементов массива от предварительно вычисленных элементов массива — та особенность, которая отличает рекурсивные вычисления от более простого многократного вычисления, обсужденного в предыдущем разделе.