7. Основы теории управления.

Теория управления - наука о принципах и методах управления различными системами, процессами и объектами. Основами теории управления являются кибернетика и теория информации. Суть теории управления: на основе системного анализа составляется математическая модель объекта управления (ОУ), после чего синтезируется алгоритм управления (АУ) для получения желаемых характеристик протекания процесса или целей управления.

Кибернетика установила, что управление присуще только системным объектам. Для них характерно понижение энтропии, направленность на упорядочение системы.

Процесс управления можно разделить на несколько этапов: - Сбор и обработка информации. - Анализ, систематизация, синтез.

- Постановка на этой основе целей. Выбор метода управления, прогноз. - Внедрение выбранного метода управления.

- Оценка эффективности выбранного метода управления (обратная связь).

Конечной целью теории управления является универсализация, а значит согласованность, оптимизация и наибольшая эффективность функционирования систем.

Методы управления, рассматриваемые теорией управления техническими системами и другими объектами, базируются на трёх фундаментальных принципах: - Принцип разомкнутого (программного) управления, - Принцип компенсации (управление по возмущениям, - Принцип обратной связи.

И меются следующие наиболее общие подходы к теории управления:

- Процессный подход основывается на идее существования некоторых универсальных функций управления.

- Системный подход сложился на базе общей теории систем: система - это некая целостность, состоящая из взаимозависимых подсистем, каждая из которых вносит свой вклад в функционирование целого.

- Ситуационный подход рассматривает любую организацию как открытую систему, постоянно взаимодействующую с внешней средой, следовательно, и главные причины того, что происходит внутри организации, следует искать вне её, то есть в той ситуации, в которой она реально функционирует.

- Универсальный подход сложился на базе научной школы Универсологии, теории Универсального управления, теории переходных процессов, теории относительности сознания, и рассматривает любую систему в совокупности ее вертикальных и горизонтальных связей.

- Субстратный подход, основанный на структурной оптимизации стратегии и принимаемых решений посредством выявления субстратов (ключевых моментов эффективности) в значимых классах информационного контекста управленческой ситуации. Процесс построения такой структурно-субстратно-оптимальной стратегии называют структурной оптимизацией.

8. Численные методы.

Численные методы - методы решения математических задач в численном виде. Представление как исходных данных в задаче, так и её решения - в виде числа или набора чисел.

О сновами для вычислительных методов являются:

- решение систем линейных уравнений. Численное решение уравнений и их систем состоит в приближённом определении корня или корней уравнения или системы уравнений и применяется в случаях, когда точное значение вычислить невозможно или очень трудоёмко. Если система представляет собой СЛАУ, целесообразно прибегнуть к таким методам, как метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные) или метод Ньютона (итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции). Этот метод в свою очередь основывается на принципах метода простой итерации.

- интерполирование. Способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. На основании наборов значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки, требуется п остроить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных. Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию.

На верхнем рисунке столбцы x и f(x).

- численное интегрирование. Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла. Численное интегрирование применяется, когда: Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчётной сетки. Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например, .

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически.

- численное решение системы нелинейных уравнений и их систем состоит в приближённом определении корня или корней уравнения или системы уравнений и применяется в случаях, когда точное значение вычислить невозможно или очень трудоёмко.

- численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - это дифференциальное уравнение вида: где y(x) - неизвестная функция, зависящая от независимой переменной x, штрих означает дифференцирование по x. Число n (порядок старшей производной, входящей в данное уравнение) называется порядком дифференциального уравнения (1).

Метод полиномов Чебышева (МПЧ). Многочлены Чебышева играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышева первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами. Парам. ур-ия регрессии также опред-ют с помощью метода, основанного на полиномах Чебышева. Ур-ие регрессии в этом случае: (1) T_j(x)-ортогональные полиномы Чебышева

- оценка МО. Все остальные T_j вычисляются по рекуррентной ф-ле

- параболическая регрессия j-ой степени. b_j - оценки параметров модели. Подставляя b_j в главную формулу переходим к формуле (2). Выигрыша во времени у метода, основанного на полиномах Чебышева, по сравнению с МНК нет, т.к. кол-во вычислений ≈ одинаково. Но есть ряд случаев, когда МПЧ лучше - решение задач, когда степень апроксимир-го полинома модели заранее неизвестна. МПЧ исп-ся тогда, когда недоопределена структура модели, т.к. он явл-ся реккурентным – кажд. следующий коэф. опред-ся на кажд. итерации. Применяя метод последовательного увеличения степени регрессии с вычислением остаточной дисперсии на каждом j+1-том шаге, вычисления заканчивают, если вып-ся усл-ие (значение дисперсии увеличивается).

Для опред-ия остаточной дисперсии существует реккурентная ф-ла (выражает каждый член послед-ти через некоторое кол-во предыдущих членов):

Вычисления также заканчиваются по условию минимума остаточной дисперсии. При наличии шума это условие проверяют в статистическом смысле, т.е. вычисления заканчиваются, если Значимость различия м/у дисперсиями при наличии шумов на соседних итерациях и проверяют с помощью критерия Романовского:

Если R<3, то расхождение м/у и значимо, вычисления прекращаются, kоптим=j и производится преобразование формулы (2) в (1).

Проверка гипотезы однородности дисперсий выхода на каждом уровне входа. Критерий Кочрена, т.е. отличие самой большой дисперсии от всех остальных. Если вычисленное меньше табличного, то с заданной вероятностью дисперсии однородны. Суть ДА состоит в том, что при изменении входа и шума изменяется и выход. Степень изменения выхода оценивают с помощью общей дисперсии. Факторная дисперсия определяет влияние входа, а остаточная – влияние шума. Т.о. если факторная дисперсия много больше остаточной, то изменения входа значительно влияет на выход.