2. Основы дискретной математики.

Дискретная математика - область математики, занимающаяся изучением дискретных (состоящих из отдельных частей) структур, которые возникают как в пределах самой математики, так и в её приложениях. К числу таких структур относятся конечные группы (алгебраическая группа, содержащая конечное число элементов (это число называется её порядком)), конечные графы (совокупность непустого множества вершин и множества пар вершин (связей между вершинами)) и некоторые математические модели преобразователей информации, конечные автоматы, машины Тьюринга (абстрактная вычислительная машина - способна имитировать все другие исполнители, каким-либо образом реализующие процесс пошагового вычисления, в котором каждый шаг вычисления достаточно элементарен). Это примеры структур конечного (финитного) характера. Раздел дискретной математики, изучающий их, называется конечной математикой. Иногда само это понятие расширяют до дискретной математики.

Разделы: Мат. логика, Булева алгебра (см. вопрос 1), Теория конечных автоматов, Теория Графов.

Граф – это множество V точек, определенным образом соединенных между собой линиями. Точки множества V называются вершинами графа, а соединяющие их линии – ребрами. Вершины графа обычно нумеруют десятичными числами, но можно использовать и любые другие знаки. Если вершины пронумерованы, то ребра обозначают неупорядоченными парами номеров вершин. Каждую пару образуют номера тех вершин, которые соединены ребром. Граф называется простым (или линейным, если любые две его вершины соединены не более чем одним ребром и каждое ребро соединяет различные вершины. Пример простого графа приведенна рис. 1.

В сякий простой граф может быть представлен не только в виде рисунка, но и аналитически. Пусть E – множество ребер графа, тогда можно записать (рис. 1): V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; E = {{1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,7}, {2,5}, {2,6}, {2,7}, {3, 4}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5,7}}, где E – множество двухэлементных подмножеств множества V, каждое из которых определяет ребро, соединяющее вершины v∈V и w ∈V.

Существуют графы, в которых те или иные пары вершин соединены не одним ребром, а несколькими. Такие ребра называют кратными (параллельными). Кроме того, граф может содержать ребра, соединяющие какую-либо вершину саму с собой. Такие ребра называются петлями. Вершина называется изолированной, если у нее нет петель и из нее не выходит ни одного ребра. Граф, содержащий петли или кратные ребра, называется псевдографом. Пример псевдографа приведен на рис. 2, где вершина 1 имеет

кратные петли, вершина 2 – одиночную петлю, а вершины 2 и 3 соединены кратными ребрами. Псевдограф без петель называется мультиграфом. Пример мультиграфа приведен на рис. 3.

Т еория автоматов - раздел дискретной математики, изучающий абстрактные автоматы - вычислительные машины, представленные в виде математических моделей - и задачи, которые они могут решать. Теория автоматов наиболее тесно связана с теорией алгоритмов: автомат преобразует дискретную информацию по шагам в дискретные моменты времени и формирует результат по шагам заданного алгоритма. Абстрактный автомат - математическая абстракция, модель дискретного устройства, имеющего один вход, один выход и в каждый момент времени находящегося в одном состоянии из множества возможных. На вход этому устройству поступают символы одного алфавита, на выходе оно выдаёт символы (в общем случае) другого алфавита. Формально абстрактный автомат определяется как пятерка . Где S - конечное множество состояний автомата, X, Y - конечные входной и выходной алфавиты соответственно, из которых формируются строки, считываемые и выдаваемые автоматом, - функция переходов, - функция выходов. Ограничение числа параметров абстрактного автомата - конечный автомат.