- •Тема №3. Устойчивость линейных непрерывных систем
- •§31. Понятие устойчивости и его связь с распределением корней характеристического уравнения
- •§32. Необходимое условие устойчивости
- •§33. Общая характеристика критериев устойчивости
- •§34. Алгебраические критерии устойчивости
- •§37. Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента
- •§38. Критерий устойчивости Михайлова а. В.
- •§39. Правило перемежаемости корней
- •§40. Критерий устойчивости Найквиста
- •§41. Правило переходов
- •§42. Запасы устойчивости
- •§43. Анализ устойчивости систем с запаздыванием
- •§44. Устойчивость сар с иррациональными передаточными функциями
- •§ 45. Области устойчивости
- •§46. Сущность метода d - разбиения
- •§49. Построение областей устойчивости на эвм
- •§50. Структурная устойчивость
- •§51. Виды стабилизации сар и средства ее достижения
- •§51. Методы стабилизации сар
- •§52. Устойчивость нестационарных систем
§43. Анализ устойчивости систем с запаздыванием
Такая система содержит по крайней мере одно запаздывающее звено, и ей соответствует следующая структурная схема.
, (1)
где - п. ф. предельной системы, т.е. САР без запаздывания.
Характеристическое уравнение ЗСАР 1+W(s) = 0, или 1+W0(s) e-s = 0.
Это уравнение трансцедентное, т. к. содержит показательную функцию. Поэтому неприменимы критерии, предполагающие степенной вид характеристического полинома: алгебраические критерии, критерий Михайлова. Применим критерий Найквиста сначала к системе без запаздывания. Для этого построим АФХ W0 (j) в предположении, что предельная система в замкнутом состоянии устойчива, найдем частоту среза и запас по фазе (кривая 1).
Проанализируем, как в соответствии с формулой (1) деформируется АФХ
(2)
Это может произойти если W0 (jc) повернуть на угол по часовой стрелке. С другой стороны, этот угол поворота равен ωсτгр. Отсюда получаем формулу для расчета граничного запаздывания:
. (3)
§44. Устойчивость сар с иррациональными передаточными функциями
Такие случаи возникают в системе, имеющей особые звенья с распределенными параметрами, описываемые уравнением теплопроводности.
Передаточная функция РСАР . Характеристическое уравнение ЗСАР:
или . (1)
Характеристическое уравнение, как и п. ф. иррационально. Эта особенность не позволяет применить алгебраические критерии устойчивости несмотря на то, что с помощью замены переменной п. ф. и характеристическое уравнение можно привести к рациональному виду. Но при этом граница области устойчивости в плоскости корней переменной q видоизменяется. На плоскости s граница устойчивости, как известно, имеет уравнение , а соответственно для плоскости q её уравнение . Данная формула показывает, что в плоскости q границей области устойчивости являются лучи, проведенные из начала координат под углом к вещественной оси.
Для анализа возможности применения частотных критериев выведем принцип аргумента для переменной q. Предполагаем, что сделано разложение .
(2)
Если характеристическое уравнение (1), записанное после замены переменных в виде A(q)=0, имеет m - правых и (n - m) - левых корней, то принцип аргумента выразится формулой в соответствии с (2):
.
Отсюда можно сформулировать критерий Михайлова для этих ЗСАР:
ЗСАР устойчива (m = 0), если кривая Михайлова в виде годографа при изменении =0 до обходит последовательно n/2 квадрантов, где n - порядок характеристического уравнения для переменной q.
Если учесть, что для переменной s порядок n/2, то по существу критерий Михайлова сохраняет свою основную формулировку, и для его применения замены делать не нужно. Проанализировав изменение аргумента вектора
, получим формулу , что совпадает с известной формулой для рациональных п. ф.(см. §8). Следо-вательно критерий Найквиста, основанный на этой формуле, применим без всяких изменений к данным системам.
.
Вместо этого можно записать 2 уравнения (для модулей и аргументов):
1) необходимо построить АФХ W0( j);
2) на этой характеристике следует найти точку, соответствующую частоте РСАР, проведя луч под углом –0,75π;
3) найти Кгр из первого уравнения системы.