Матрица “затраты – выпуск”

Предприятие	Величины работ и услуг
	1	2
НДП	0,3	0,2
СФ	0,25	0,1

Как видно из таблицы первый столбец показывает, что для производства единицы продукции НДП необходимы услуги собственных подразделений в размере 30% ( ), а сервисной фирмы - в размере 25% ( ). Аналогично второй столбец относится к деятельности сервисной фирмы: услуги НДП – 20% ( ), а собственного производства 10% ( ).

Таблицу можно переписать в виде матрицы

,

где элементы матрицы а_ij коэффициенты прямых (производственных) затрат.

Экономический смысл этих коэффициентов: а_ij – стоимость продукции предприятия i, вложенной в 1 руб. продукции предприятия j.

В дальнейших расчетах предполагаем, что конечная продукция рассматриваемых фирм пропорциональна производственным затратам, то есть, если необходимо увеличить конечную продукцию в два раза, необходимо вдвое увеличить все производственные затраты. Данное упрощение реальных экономических связей облегчает проведение дальнейших расчетов.

Согласно принятым обозначениям - валовая продукция НДП и СФ х₁ и х₂, а конечная продукция – через у₁ и у₂ соответственно, получаем систему линейных уравнений:

,

Данная система уравнений связывает показатели производства работ по НДП и СФ и конечную продукцию. Действительно, если собственные услуги на единицу продукции НДП составляют 0,3, то для производства х₁ продукции объем этих услуг будет равен 0,3х₁. Соответственно, если сервисная фирма на производство единицы продукции потребляет услуг НДП на сумму 0,2, для производства продукции х₂ эти услуги составят 0,2х₂. Услуги НДП самому себе и сервисной фирме в сумме с конечной продукцией у₁ составляют валовую продукцию х₁ (первое уравнение системы). Аналогично составляется второе уравнение.

Систему уравнений (5.41) можно записать в следующем виде:

,

или в более компактной форме

Х = А*Х + У

где А – матрица производственных коэффициентов

Х и У – вектор – столбцы валового и конечного продуктов соответственно.

Эта модель может быть использована для решения следующих задач:

1. Определение конечной продукции каждого предприятия по заданной величине валовой продукции этих предприятий.

2.Обратная задача: определение валовой продукции каждого предприятия по заданной величине конечной продукции этих предприятий.

Рассмотрим первую, так называемую прямую задачу, т.е. определим объемы конечной продукции при известных величинах валовой продукции рассматриваемых предприятий и матрицы производственных коэффициентов. Для решения этой задачи перепишем модель Леонтьева в следующем виде:

У = Х – А*Х

В качестве примера определим конечную продукцию НДП и СФ при валовой продукции НДП $800 тыс. и СФ $ 500 тыс., т.е. когда валовая продукция НДП уменьшается на 20%, продукция СФ остается на прежнем уровне (1-й вариант). В этом случае

.

Подставив эти значения в уравнение (5.43) получаем

Следовательно, конечная продукция НДП уменьшилась на 23%, а конечная продукция СФ, наоборот, увеличилась на 25%.

Рассмотрим 2-й вариант, когда при уменьшении валовой продукции НДП на 20%, сервисная фирма уменьшает валовую продукцию на 40%. Следовательно,

.

Матрица производственных коэффициентов естественно остается прежней.

Повторим вышеприведенные операции

Как видно в этом варианте изменения валовой продукции рассматриваемых фирм, конечная продукция НДП уменьшилась всего на 17%, а конечная продукция СФ тоже уменьшилась, но только на 15%. Определить эти изменения показателях совместно действующих фирм без решения системы (5.43) невозможно.

Перейдем к более трудной обратной задаче - определению валовой продукции по известным (точнее требуемым) значениям конечной продукции. Можно отметить, что эта задача чаще встречается на практике, так как в рыночной экономике именно спрос определяет объемы производства.

Перенесем составляющие показатели валовой продукции Х в левую часть:

Х – АХ = У (5.44)

Перепишем равенство 5.44 в следующем виде

(Е – А)Х = У. (5.45)

Умножим обе части уравнения (5.45) на матрицу (Е–А)^-1, обратную для матрицы (Е – А).

(Е – А)^-1(Е – А)Х = (Е – А)^-1У. (5.46)

По определению обратной матрицы

(Е – А)^-1(Е – А) = Е, а ЕХ = Х.

Тогда окончательно получаем

Х = (Е – А)^-1У (5.47)

Предположим, что конечная продукция НДП должна составлять $700 тыс. (предполагаемый рост на 17%), а конечная продукция СФ должна остаться на прежнем уровне $200 тыс. Требуется определить необходимую валовую продукцию рассматриваемых фирм. Матрица производственных коэффициентов остается прежней

Для решения определим матрицу

,

детерминант которой равен 0,70,9 – 0,750,2 = 0,48.

Вычислим для нее обратную матрицу

.

Подставляя найденную матрицу в выражение (5.47) получаем

Таким образом, чтобы удовлетворить конечный спрос валовая продукция НДП должна составлять $1615 тыс., а СФ - $630 тыс. Следовательно, требуемый рост валовой продукции НДП – 40,5%, а СФ – на 182%.

Если предположить рост конечной продукции СФ на 100% (в предыдущем примере объем конечной продукции СФ оставался на прежнем уровне), вектор-столбец значений конечной продукции рассматриваемых фирм будет следующим:

.

Используя ранее вычисленную обратную матрицу (Е-А)^-1, нетрудно определить требуемые величины валовой продукции:

Следовательно, для удовлетворения этого варианта выпуска конечной продукции валовая продукция НДП должна возрасти почти на 49%, а СФ на 246%.

Литература:

1. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Уч. пособие. - М.: ИНФРА-М, 1998. - 208с.

2. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник: в 2-х ч. Ч.1. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 224 с.

3. Экономико-математические методы и прикладные модели. Учеб. пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др. – М.: ЮНИТИ, 1999. – 391 с.

4. Коршунова Н.И., Плясунов В.С. Математика в экономике: - М.: Издательство “Вита-Пресс”, !996. – 368 с.

5. Математические модели планирования и управления в экономических системах. Э.М. Браверман, М.: Наука, 1976 – 368 с.

6. Ланкастер К. Математическая экономика. Нью-Йорк, 1968 г., пер. с англ. под ред. Д.Б. Юдина. М.: Советское радио, 1972 – 464 с.