14.Функции двух переменных.Область определения предел,непрерывность.

Определение функции двух переменных легко обобщить на случай большего числа переменных. Так, функцией трех переменных называется правило, по которому каждой тройке действительных чисел соответствует единственное действительное число , при условии, что каждое число соответствует хотя бы одной тройке .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функция Z=f(M) называется непрерывной в точке M₀, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т.е.

Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у. По определению функция f (x, y) имеет предел в точке (х₀, у₀), равный числу А, обозначаемый так: (пишут еще f (x, y)→А при (x, y)→ (х₀, у₀)), если она определена в некоторой окрестности точки (х₀, у₀), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел (какова бы ни была стремящаяся к (х₀, у₀) последовательность точек (x_k, y_k)

По определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х₀, у₀), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х₀, у₀) и если предел f (x, y) в этой точке равен ее значению в ней:

Условие непрерывности f в точке (х₀, у₀) можно записать в эквивалентной форме:

т.е. функция f непрерывна в точке (х₀, у₀), если непрерывна функция f (х₀ + Δх, у₀ + Δу) от переменных Δх, Δу при Δх = Δу = 0.

Можно ввести приращение Δи функции и = f (x, y) в точке (x, y), соответствующее приращениям Δх, Δу аргументов

Δи = f (х + Δх, у + Δу) – f (x, y)

и на этом языке определить непрерывность f в (x, y): функция f непрерывна в точке (x, y), если

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х₀, у₀) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х₀, у₀) ≠ 0.

Постоянную с можно рассматривать как функцию f (x, y) = с от переменных x, y. Она непрерывна по этим переменным, потому что| f (x, y) – f (х₀, у₀) | = |с – с | = 0 0

16.Дифференциал функции двух переменных.Геометрическая иллюстрация.

Пусть функция z = f(x,y), имеет в точке М0(х0,у0) частные производные f /x (х0,у0) и f /у (х0,у0).

О. Полным приращением функции z = f(x,y) в точке М0(х0,у0) называется разность Пусть приращение функции z =f(x,y) можно представить в виде

где , то функция называется дифференцируемой в точке M 0 (х0,у0).

О. Полным дифференциалом функции z=f(x,y) называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений её аргументов . Полный дифференциал функции (если он существует) равен сумме всех ее частных дифференциалов и вычисляется по формуле: При достаточно малых (по абсолютному значению) приращениях аргументов, полное приращение функции можно с как угодно малой относительной погрешностью заменить ее полным дифференциалом. Дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у совпадают с их приращениями соответственно . Таким образом,