3. Интегрирование по частям для неопр. И опр. Интеграла.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции. Проинтегрируем равенство d(uv)=udv+vdu в пределах от a до b.

В левой части применим формулу Ньютона-Лейбница:

Получим:

П олучим формулу интегрирования по частям:

В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ

Пусть u и v являются функциями x. Умножив обе части равенства (uv)'=u'v+uv' на dx, получим d(uv)=vdu+udv. Интегрируя приходим к формуле интегрирования по частям.

4.Интегрирование рациональных дробей.Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь Р(х)/Q(х), знаменатель которой разложен на множители

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

где   — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.

5.Интегрирование тригонометрических функций.

1. Интегралы вида , где рациональная функция от u и v.Интегралы указанного вида сводятся к интегралам от рациональной функции новой переменной t с помощью подстановки , которую называют универсальной тригонометрической подстановкой. При этом используются формулы тригонометрии.

6.Интегрирование иррациональных выражений.

Для интегрирования иррациональной функции, содержащей используется подстановка . Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколькорациональных степеней x, применяется подстановка в форме , где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию. Рациональная функция x под знаком корня n-ой степени, т.е. выражение вида интегрируется с помощью подстановки

9.Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Теорма: Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то функция

непрерывна на этом отрезке.

Доказательство: Дадим числу х приращение ∆х так, чтобы х+∆х[a,b]. Для наглядности изобразим на числовой оси один из возможных вариантов расположения точек:

a x₀ x х+∆х b

П олучим:

По теореме (Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке, то интегрируема и абсолютная величина |f(x)|, причем

… (на этом теорема закончилась, но неравенство относится к ней.) и следствию из теоремы (Если на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и удовлетворяет неравенству mf(x)M. То выполняются неравенства:

(на этом следствие из теоремы закончилось)

получаем:

Отсюда следует, что при ∆х→0 будет ∆F→0. Это доказывает непрерывность функции F(x). Отметим, что для подынтегральной функции f(x) точка х может быть точкой разрыва.

Формула Н-Л.

Пусть F(x) -произвольная первообразная для функции f(x),

заданной на промежутке [a,b]. Так как две

первообразные одной и той же функции

( в качестве числа х₀ взято число а).

В этом тождестве положим х=а и получим ,

Откуда С = -F(a). Формула (1) примет вид:

Заменяя здесь х на b, приходим к формуле Ньютона-Лейбница:

Иногда ее правую часть записывают короче с помощью двойной подстановки: