48. Первообразная и неопределенный интеграл.

Было: F(х) – найти F`(x) = f(x)

Сейчас: f(x) – найти F(х)

F`(x) = f(x)

Пример: f(x) = 2х => F(х)=х²

F`(x)=(х²)=2х

Опр1: Ф-ия F(х) назыв-ся первообразной от ф-ии f(x), если F`(x) = f (x).

Теор1: Если F(х) есть первообразная для f(x) => F(х) + С, где С – const, также первообразная для f(x).

Д-во: Дано: F`(x) = f(x)

[F(х) + С]` = F`(х) + С` = f(x) чтд.

Сл-е1: Если 2 ф-ии на интервале (а,в) имеют одинаковые производные, то сами ф-ии отличаются на постоянную величину.

Пример: F₁(x) = sin²x/2 = F₁`(x) = 2sinxcosx/2 = sinxcosx.

F₂(x) = (-cos²x/2) = F₂`(x) = (- 2(-sinx)cosx/2) = sinxcosx

F₁ и F₂ имеют одинаковую производную => сами ф-ии должны отличаться на посоянную величину.

sin²x/2 = (1- cos²x)/2 = ½ + (-cos²x/2)

Сл-е2: Если ф-ия f(x) имеет первообразную, то ей соответствуют бесчисленное множество первообразных. Все первообразные одной ф-ии различаются на постоянную величину. Они образуют семейство первообразных. Общее выражение для семейства для f(x) может быть записано как F(х) + С, где С – некоторая произвольная постоянная.

Опр2: Неопределенным интегралом называется общее выражение для первообразной.

Обозначение: ⌡f(x)dx = F(х) + С, F`(x) = f(x), где ⌡- знак для интегрирования, f(x)dx – подынтегральное выражение, F(х) – первообразная для f(x), F(х) + С – неопределенный интеграл.

49. Свойства неопределенного интеграла.

1⁰. Производная от неопред интеграла = подынтегральной ф-ии, т.е. [⌡f(x)dx] = f(x) всд. [⌡f(x)dx]` = [F(х) + С]` = F`(х) + С` = f(x) чтд.

2⁰. Знаки интеграл (⌡) и дифференциал (d), стоящие рядом взаимно уничтожаются с прибавлением произвольной постоянной С.

⌡d [F(х)] = F(х) + С. Всд. С одной стороны ⌡f(x)dx = ⌡ F`(х) dx = ⌡dF(x). С другой ⌡f(x)dx = F(х) + С => ⌡dF(x) = F(х) + С чтд.

3⁰. Знаки (⌡) и (d), стоящие рядом взаимно уничтожаются и без прибавления произвольной постоянной С.

d⌡f(x)dx = f`(х) dx. Всд. d⌡F(х)dx = d[F(х) + С] = d F(x) + d C = F`(x) dx = f (x) dx чтд.

4⁰. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

⌡a f(x)dx = a⌡f(x)dx – a=const.

5⁰. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа ф-ий = алгебраической сумме неопределенных интегралов от тех же ф-ий.

⌡[f₁(x) + f₂(x)] dx = ⌡f₁(x) dx + ⌡f₂(x) dx. Всд. ⌡[f₁(x) + f₂(x)] dx = ⌡[F₁`(x) + F<sub>2</sub>`(x)] dx = ⌡[F₁`(x) + F<sub>2</sub>`(x)]` dx = ⌡d [F₁(x) + F₂(x)] = F₁(x) + F₂(x) + C₁ + C₂ = ⌡f₁(x) dx + ⌡f₂(x) dx чтд.

50. Таблица неопределенных интегралов.

1. ⌡0 dx = С, т.к. С`=0

2. ⌡xⁿ dx = xⁿ⁺¹/n+1 + C, где n≠-1

3. ⌡dx/х = ln |x| + С, где n=-1

4. ⌡a^x dx = a^x/ln a + С

5. ⌡e^x dx = e^x + С

6. ⌡sinx dx = -cosx + С

7. ⌡cosx dx = sinx + С

8. ⌡dx/cos²x = tgx + С

9. ⌡dx/sinx² = -ctgx + С

10. ⌡dx/(1-x²)^1/2 = {arcsinx + C/-arccos + C}

11. ⌡dx/1+x² = {arctgx + C/-arcctg + C}

12. ⌡tgx dx = -ln |cosx| + С

13. ⌡ctgx dx = ln |sinx| + С

14. ⌡dx/a²+b²x² = 1/ab*arctg bx/a + C – усложненный аrctg

15. ⌡dx/a²-b²x² = 1/2ab*ln|a+bx/a-bx| + C – высокий лог

16. ⌡dx/(a²-b²x²)^1/2 = 1/b*arcsin bx/a + C – усложненный arcsin

17. ⌡dx/(x² ± a²)^1/2 = ln|x+(x² ± a²)^1/2 | + C – широкий лог

Табл интегралов нужно рассматривать инвариантно

⌡(*)ⁿ d(*) = (*)ⁿ⁺¹/n+1 + C