- •35. Исследование функции на интервале монотонности. Экстремум ф-ии необходимое и достаточное условие экстремума.
- •37. Асимптоты. Вертикальные, горизонтальные, наклонные. Их нахождение.
- •38. Наибольшее и наименьшее значения ф-ии непрерывной на отрезке. Общий план исследования ф-ий и построения их графиков.
- •39. Функции нескольких переменных (фнп). Определения. Ооф. Геометрич смысл.
- •40. Линии уровня, градиент для ф-ии 2-х переменных.
- •41. Частное и полное приращение ф-ии. Предел ф-ии 2-х переменных. Непрерывность фнп.
- •42. Частные производные фнп.
- •43. Дифференциалы фнп.
- •44. Дифференцирование сложной ф-ии нескольких переменных.
- •45. Производных высших порядков для 2-х переменных.
- •46. Экстремум ф-ии 2-х переменных. Необходимое условие существ-я экстремума.
- •47. Достаточное усл-е существ-я экстремума для ф-ии 2-х переменных.
- •48. Первообразная и неопределенный интеграл.
- •49. Свойства неопределенного интеграла.
- •50. Таблица неопределенных интегралов.
- •51. Методы интегрирования. Непосредственное интегрирование. Метод подставки. Интегрирование по частям.
- •52. Интегрирование простейших дробей.
- •53. Разложение рациональных дробей на простейшие. Интегрирование рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов.
- •54. Интегрирование простейших иррациональных выражений.
- •55. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •56. Интегральные суммы. Понятие определенного интеграла.
- •57. Связь неопределенного интеграла с определенным. Формула Ньютона-Лейбница.
- •58. Свойства определенного интеграла.
- •59. Вычисление определенного интеграла по частям.
- •60. Замена переменной в определенном интеграле.
- •61. Несобственные интегралы с ∞-ми пределами.
- •62. Несобственные интегралы от разрывных функций.
35. Исследование функции на интервале монотонности. Экстремум ф-ии необходимое и достаточное условие экстремума.
Функция у = f (х) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если для любых значений x2>x1 этого промежутка выполняется условие f(x2) > f(x1)(f (x2) < f (x1)).
Функция у = f(х) имеет максимум (минимум) в точке x0, если существует такая окрестность точки x0, что для всех x, принадлежащих этой окрестности, выполняется условие f(х) < f(х0) (f (х) > f(х0), х х0.
Максимумы и минимумы функции называются ее экстремумами.
Интервал, на котором функция возрастает или убывает, называется интервалом монотонности функции.
Теорема 1. (необходимое условие монотонности функции). Если дифференцируемая в интервале (а, b) функция у = f (х) возрастает (убывает) на этом интервале, то ее производная в каждой точке (а, b ) f`(x) .
Доказательство. Пусть у = f (х) – дифференцируема и возрастает на (а, b). Пусть точки х и х+ х принадлежат (а, b). Если >0, то f(x+ ) >f(x); если <0, то f (x+ ) < f(x). В обоих случаях > 0. Переходя к пределу в последнем неравенстве при 0 и учитывая, что функция дифференцируема, получаем .
Аналогично доказывается теорема в случае убывающей функции.
Теорема 2. (достаточное условие монотонности функции). Если непрерывная на отрезке [а, b] функция у = f(х) в каждой точке интервала (а, b) имеет положительную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [а, b].
Доказательство. Пусть >0 для всех х (а,b). Рассмотрим два произвольных значения x2 > x1, принадлежащих [а, b]. По формуле Лагранжа х1<с < х2. (с) > 0 и х2 – х1 > 0, поэтому >0, откуда > , то есть функция f(х) возрастает на отрезке [а, b]. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.
Теорема 3. (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке c функция у = f(х) имеет в этой точке экстремум, то .
Доказательство. Пусть, например, функция у = f(х) имеет в точке c максимум. Это означает, что существует такая проколотая окрестность точки c, что для всех точек x этой окрестности выполняется f(x) < f(c), то есть f (c) – наибольшее значение функции в этой окрестности. Тогда по теореме Ферма .
Аналогично доказывается случай минимума в точке c.
Замечание. Функция может иметь экстремум в точке, в которой ее производная не существует. Например, функция имеет минимум в точке x = 0, хотя не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками функции. Однако не во всех критических точках функция имеет экстремум. Например, функция у = x3 не имеет экстремумов, хотя ее производная = 0.
Теорема 4. (достаточный признак существования экстремума). Если непрерывная функция у = f(x) имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку С (за исключением, может быть, самой этой точки), и если производная при переходе аргумента слева направо через критическую точку С меняет знак с плюса на минус, то функция в точке С имеет максимум, а при перемене знака с минуса на плюс – минимум.
Доказательство. Пусть c – критическая точка и пусть, например, при переходе аргумента через точку c меняет знак с плюса на минус.Это означает, что на некотором интервале (c–; c) функция возрастает, а на интервале (c; c+) – убывает (при >0). Следовательно, в точке с функция имеет максимум. Аналогично доказывается случай минимума.
Замечание. Если производная не меняет знака при переходе аргумента через критическую точку, то функция в этой точке не имеет экстремума.
36. Исследование функций с помощью 2-ой производной. Выпуклость. Вогнутость. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба. Нахождение экстремума с использованием 2-ой производной.
Кривая называется выпуклой, если все ее точки лежат ниже касательной, а вогнутой – если выше. На участке вогнутости вторая производная >0, на участке выгнутости - <0 => знак производной явл достаточн призн выпуклости или вогн-сти. М.б. использ при нахожд экстремума, т.е. если y``>0 – (.)min на участке, если y``<0 – (.)max на этом участке, а сам экстремум ищется с помощью первой производной. Точка, отдел выпукл часть от вогнутой назыв (.) перегиба. В(.) перегиб касат, если существ, пересекает прямую, т.к. с одной стороны (.) кривая лежит над касат, а с др – под ней.
Необх усл существ (.) перегиба: 1) Если (.)х0- абсцисса (.) перегиба, сл-но либо y``=0, либо не сущ-ет.
Достат усл сущ: 1) y``=0, не сущ. 2)y`` при прохожд (.) перегиба меняет знак => х0- абсцисса (.) перегиба.