26. Производные и дифференциалы высших порядков.

дифференцируема в точке следовательно, существует непрерывность.

, каждая из функций также дифференцируема в точке P это значит мы можем найти по 2 частной производной

,

,

Пример 1. Найти частную производную 2-го порядка

,

,

,

Th. Если имеет в точке P непрерывные смешанные частные производные 2-го порядка, то они равны:

,

27. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

Если функция z = f(x,y) непрерывна вместе со своими частными производными до (n + 1)-го порядка включительно в точке (x₀,y₀) и в некоторой её окрестности, то можно показать, что такая функция представима в виде суммы многочлена n-й степени относительно (x-x₀) и (y-y₀) и некоторого остаточного члена.

В случае n = 2 это представление будет выглядеть следующим образом:

f(x,y)=F+D(x-x₀)+E(y-y₀)+A(x-x₀)²+B(x-x₀)(y-y₀)+C(y-y₀)²+R₂ (1)

где A, B, C, D, E, F– числа, R₂ – остаточный член.

Исходной для вывода формулы (1) является формула Тейлора второго порядка для функции одной переменной:

Запишем эту формулу для функции f (x,y), считая пока аргумент y постоянным:

(2)

Теперь записываем по формуле Тейлора функции, зависящие только от у:

Сделаем подстановку этих функций в равенство (2):

Расположим слагаемые в порядке возрастания степеней (x – x₀) и (y – y₀):

Здесь последние выделенные слагаемые составляют остаточный член R2(x,y), они имеют порядок малости , где

Таким образом, формула Тейлора второго порядка для функций двух переменных имеет вид:

(3)

-это остаточный член формулы Тейлора второго порядка, величина которого имеет одинаковый порядок малости с .

Из формулы (3) следует, что в некоторой малой окрестности точки (x₀;y₀)остаточным членом R₂ можно пренебречь вследствие его малости и записать приближенное выражение функции f(x,y) в виде многочлена второй степени по разностям (x-x₀) и (y-y₀):

(4)

Выражение в правой части формулы (4) называется многочленом Тейлора второй степени, соответствующим функции f(x,y). Особенно просто выглядит представление функции ее многочленом Тейлора в окрестности точки (0;0):

(4’)

28. Экстремум функции двух переменных

Определение 3.4. Точка называется точкой максимума , если существует такая -окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство

.

Определение 3.5. Точка называется точкой минимума , если существует такая -окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство

.

Значение функции в точке максимум (минимум) называется максимум (минимум) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.

точка экстремума лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер; значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к . В области функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

Теорема 3.2 (необходимое условие экстремума).

Если точка является точкой экстремума функции , то или хотя бы одна из этих производных не существует.

Геометрический смысл: равенства означают, что в точке экстремума функции касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию , параллельная плоскости Oxy, т.к. уравнение касательной плоскости есть .

Определение 3.6. Точки, в которых хотя бы одна частная производная равна нулю или не существует, то такие точки называются критическими точками.

Если речь идет о точках, в которых частные производные первого порядка равны нулю, то такие точки называются стационарными точками.

Теорема 3.3 (достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно в некоторой области, содержащей стационарную точку . Вычислим в точке значения . Обозначим

.

Тогда:

1. если , то функция имеет экстремум в точке :

   • максимум, если ;

   • минимум, если ;

2. если , то функция не имеет экстремума в точке ;

3. если , то экстремум в точке может быть, а может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.