![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Неопределённый интеграл и его свойства.
- •Свойства неопределенного интеграла
- •2. Таблица основных неопределённых интегралов
- •3. Замена переменной в интеграле. Примеры.
- •4. Интегрирование по частям. Примеры
- •5. Определённый интеграл и его геометрический смысл.
- •6. Основные свойства определенного интеграла
- •7. Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
- •8. Вычисление площадей плоских фигур
- •9. Вычисление длины дуги
- •10. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл первого рода)
- •11. Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода.
- •12. Несобственный интеграл второго рода. Примеры
- •14. Множества в Rn. Основные понятия и определнения.
- •16. Понятие функции нескольких переменных. Примеры.
- •17. Предел функции нескольких переменных в точке и его свойства.
- •19. Частные производные фнп
- •24. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •Инвариантность формы первого дифференциала
- •Свойства инвариантности
- •25. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •26. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •27. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- •28. Экстремум функции двух переменных
17. Предел функции нескольких переменных в точке и его свойства.
Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывность, аналогично случаю функции одной переменной.
Введем понятие окрестности точки.
Пусть функция
определена в некоторой окрестности
точки
,
кроме, может быть, самой этой точки.
Определение 1.
Число
называется пределом
функции
при
и
(или, что то же самое, при
),
если для любого
существует
такое, что для всех
и
и, удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
.
Записывают:
(1.1)
или
.
Из определения
следует, что если предел существует, то
он не зависит от пути, по которому
стремится к
(число таких направлений бесконечно).
Определения бесконечно малых и бесконечно
больших величин являющихся функциями
двух переменных, аналогичны соответствующим
определениям для функций одной переменной.
Геометрический
смысл
предела функции двух переменных состоит
в следующем. Каково бы ни было число
,
найдется
-окрестность
точки
,
что во всех точках
,
отличных от
,
аппликаты соответствующих точек
поверхности
отличаются от числа
по модулю меньше, чем на
.
№18. Непрерывность функции нескольких переменных. Свойства непрерывных функций.
Z=f(P)-
определённая на D,
P0
D
и является его предельной точкой.
Опр.1. Ф- я Z=f(P) назыв. переменной в т.F0, если lim (P-> P0 ) f(P)= f(P0).
Если ф-я Z=f(P) непрерывна в каждой точке мн- ва D, то она непр. на мн- ве D.
Замечание. Если ф- я непр. в т. Р, то знак ф-и и знак предела можно менять местами
lim (P-> P0 )f(P)= f(lim (P->P0 ) P). В точках, в к-ых ф-я не явл. непрерывной называют точками разрыва ф-ции.
Пример. Z=
9x2-4y2=0
(
3x-2y)(3x+2y)=0
. система:
3x-2y=0
3x+2y=0.
Рассмотрим z= f(x1, x2,…,xn)
Пусть P0(x10, x20,…,xn0)
Опр.2.
Полным приращением ф-и f(x1,
x2,…,xn)
в точке Р0
соответствующим
приращением
x1,
x2,…,
xn
независимых
переменных назыв.
Z=
f(x10+
x1,
x20+
x2,…,xn0+
xn)-
f(x10,
x20,…,xn0)-
полное приращение.
Т||
Ф-я z=
f(x1,
x2,…,xn)
непрерывна в т.
0
, тогда и
только тогда, когда lim(
x1->0,…,
xn->0
)
Z=0
. x10+ x1=x1 …
xn0+ xn=xn
P(x1,…, xn)
Z=f(P)-f(P0)
Для ф-и нескольких переменных можно определить понятие непрерывности по одной из переменных.
Z=(x,y) P0(x0, y0)
Пусть y= cos t= y0, тогда x Z= f(x0+ x,y)-f(x0,y0) частное приращение ф-и Z=f(x,y) в т. Р0 по переменной x.
Аналогично y Z= f(x0, y0+ y)- f(x0,y0)- частное приращение по y.
Опр.3. Ф-я Z=f(x,y)- непрерывная по переменной X в т. Р0, если предел lim( x->0) x Z=0. Аналогично по y, lim( y->0) y Z=0.
Из непрерывности ф-и Z=f(x,y) в т. Р0 следует её непрерывность по каждой из переменных. Обратное неверно.
Пример.
Z=
, O(0,0)
Ф- я не явл. непр. в этой точке по каждой из перем. X и Y. непр. по X:Y=0.
Св-ва непрерывных ф-й:
f(P), g(P)- непрерывные в т. Р.
f(P)
g(P),
f(P)
g(P),
(g(P)≠0)-
являются непрерывными в т. Р0.
Непрерывность сложной ф-и Z=f(x,y) непрерывна в т. Р0(x0, y0) и система :
x= φ(t1, t2) φ(t10, t20)= y0;
y= ω(t1,t2), где ω(t10,t20)=x0.
И ф-и φ и ω непрерывны в М0(t10, t20 ), тогда сложная ф-я z=f(φ(t1, t2), ω (t1, t2))=g(t1, t2) непрерывна М0
Если ф-я z=f(P) непр. в т. Р0, и f(P0)
0, то существует такая окрестность Р0, в к-ой ф-я f(P) не обращается в 0.
Теорема Вейерштрасса: Если ф-я f(P) непрерывна на огран. Замкнутом мн-ве D, то она достигает на этом мн-ве своего наибольшего\наименьшего М, m - значений.
Если f(P) - непр. на огран. замкнутом мн- ве, то она принимает на этом мн- ве любое значение заключ. между m и M.