- •3 Вопрос.
- •4. Замена переменной в ти (геометрический вывод для общего случая); переход в ти к цилиндрическим и сферическим координатам.
- •7.Криволинейные интегралы 2 рода
- •8.Независимость ки-2 от пути интегрирования. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.
- •2. F(X,y), непрерывны в д, тогда для всякого (х0,у0)
- •11. Дифференциальные уравнения высшего порядка: основные понятия и определения. Три типа ду высшего порядка, допускающие понижение порядка.
- •15 Вопрос.
- •Вопрос 16. Лнду-n с постоянными коэффициентами: отыскание частного решения методом неопределенных коэффициентов по виду правой части специального вида (все случаи доказывать).
- •18.Доказать теоремы:
- •Признак Даламбера
- •2) Коши-Радикальный
- •3) Признак Коши-Интегральный
- •21. Знакочередующиеся ряды. Доказать теорему Лейбница.
- •22. Функциональные ряды.
- •25 Вопрос
- •2.1 Ряд Фурье. Пространство функции l2 [- ]. Определение, св-ва.
- •2(Ряды Фурье). Показать ортогональность функций 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…,cosnx, sinnx,… на [-π,π].
- •Вопрос 3 фурье
25 Вопрос
PU y(x)= y(0)n/n!*xn xϵ<-R,R> (1)
PT y(x)= y(0)n/n!*(x-x0) xϵ<-R,R> (2)
Вычисление значений функций y(x) x=x1. Раскладываем функцию в ряд Тейлора и Маклорена и вычисляем значение функции
Вычисление интегралов. fn(x0)/n!(x-x0)n= fn(x0)/n! (x-x0)ndx= fn(x0)/n! (x-x0)ndx=
f(x0)(x-x0)n+1/n!(n+1) [a,b] <-R,R>
ДУ. a) Линейные ДУ. y’’+p(x)y’+g(x)y=0 Пусть p(x)=
q(x)= ; y(x)= (3) Подставим (3) в и находим коэффициенты Сn и находим из обращения в нуль коэффициентов при любой степени х в полученном выражении
б) Если p(x)= ; q(x)= Пусть a0,b0,b1 не равны, о оновр тогда решение уравнения (1) можно искать в виде обобщённого степенного ряда y(x)=xs ; ρ(ρ-1)+a0ρ+b0=0 (6)
a0= ,b0=
Если ρ1-ρ2- не целое. y1(x)=xρ1 ; y2(x)=xρ2
y00=c1y1(x)+c2xy2(x) (!!!)
б) Если ρ1-ρ2- целое
2.1 Ряд Фурье. Пространство функции l2 [- ]. Определение, св-ва.
Рассмотрим множество f(x) : = непрерывные на [- ]
Кусочные непрерывные [- ], имеющие кон число точек разрыва 1го рода
Свойства функции:
Если f(x) L2 , то С*f(x) L2
Доказательство: =С2* <
Если f1(x);f2(x) L2 то f1(x)+f2(x) L2
Д-во: (f1(x)+f2(x))2 0
f12 f1f2+f22 => f12+f22> f1f2
= < <2
Благодаря этим свойствам образуется линейное векторное пространство, которым можно показать, что L2 не имеет конечного базиса. Базис содержит бесконечное множество векторов
Можно ввести скалярное произведение:
{f(x),g(x)} =
(g(x), f(x)) =
(f(x),g(x)) =(g(x),f(x))
{f1(x)+f2(x),g(x)} = =
( + )* = * + *
{ f(x), f(x)} = 0
(|f(x)|) =
{|f(x)-g(x)|}=
2(Ряды Фурье). Показать ортогональность функций 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…,cosnx, sinnx,… на [-π,π].
{1, sinx, cosx, sin 2x, cos 2x, ... , sin nx, cos nx, ...}
Поэтому
Если n=m, то
при n ≠ m, n, m = 1, 2, 3, ... Если n = m, то
Значит,
при n ≠ m, n, m = 1, 2, 3, ... Если n = m, то
То есть
Таким образом, доказано, что система на отрезке [ - π, + π] ортогональная.
Вопрос 3 фурье
5)Ряд Фурье для периодических функций с периодом T=2l
Пусть f(x) есть период. ф-я с T=2l,отличным от 2π. Разложим ее в ряд Фурье. Замена переменной: /
Тогда ф-я будет переод-й ф-й от t c T=2π. Ее можно разложить на
,где ,
Возвратимся к старой переменной:
Имеем:
Ряд Фурье будет иметь вид: