![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •3 Вопрос.
- •4. Замена переменной в ти (геометрический вывод для общего случая); переход в ти к цилиндрическим и сферическим координатам.
- •7.Криволинейные интегралы 2 рода
- •8.Независимость ки-2 от пути интегрирования. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.
- •2. F(X,y), непрерывны в д, тогда для всякого (х0,у0)
- •11. Дифференциальные уравнения высшего порядка: основные понятия и определения. Три типа ду высшего порядка, допускающие понижение порядка.
- •15 Вопрос.
- •Вопрос 16. Лнду-n с постоянными коэффициентами: отыскание частного решения методом неопределенных коэффициентов по виду правой части специального вида (все случаи доказывать).
- •18.Доказать теоремы:
- •Признак Даламбера
- •2) Коши-Радикальный
- •3) Признак Коши-Интегральный
- •21. Знакочередующиеся ряды. Доказать теорему Лейбница.
- •22. Функциональные ряды.
- •25 Вопрос
- •2.1 Ряд Фурье. Пространство функции l2 [- ]. Определение, св-ва.
- •2(Ряды Фурье). Показать ортогональность функций 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…,cosnx, sinnx,… на [-π,π].
- •Вопрос 3 фурье
18.Доказать теоремы:
(1)
Sn=
=
a1+a2+a3+….+an
(2)
rn=
=
an+1+an+2+…
остаток ряда
(3)
Теорема о сходимости остатка ряда:
Если ряд (1) сходится, то остаток ряда (3) тоже сходится.
Дано:
Sn=S-конечное
число (
-
сходится)
Доказать: lim rn,k= конечное число
a1+a2+a3+….+an + an+1+an+2+…
a1+a2+a3+….+ak+ak+1+ak+2+…
Sk= a1+a2+a3+….+ak
Sn= a1+a2+a3+….+an
rk= ak+1+ak+2+…
rn= an+1+an+2+…
Sn= Sk+ rn,k
rk= Sn- Sk, Sk-конечное число слагаемых
rn,k= ( Sn- Sk)= Sn- Sk=S- Sk – конечное число ,(я не знаю как сделать пояснения по ходу,в лекции в кружок обводили,
Поэтому буду в скобках писать Sn=S, Sk= Sk,и еще не уверен насчет того к чему стремятся пределы)
rn,k-остаток ,это ряд(!!!!!!!!!!!!!!)
Смысл теоремы: отбрасывание нескольких первых членов ряда не влияет на сходимость этого ряда
Теорема о сходимости ряда к нулю:
Если ряд (1) сходится, то остаток rn стремится к 0
Доказательство: Sn=S
= a1+a2+a3+….+an + an+1+an+2+… (Sn и rn те же что и выше, rk- остаток ,это ряд(!!!!!!!!!!!!!!))
Дано S= Sn+ rn=> rn=S- Sn
rn= (S- Sn)=S- Sn=S-S=0
Необходимое условие сходимости ряда:
Для того чтобы сходился, необходимо чтобы an=0 (4)
Доказательство: Sn= a1+a2+a3+….+an
Sn+1= a1+a2+a3+….+an + an+1
an+1= Sn+1- Sn
an+1= ( Sn+1- Sn)= (Если сходится, то Sn=S, Sn+1=S)=S-S=0
Теоремы о действиях со сходящимися рядами:
1)Если
=
S сходится ,то ряд
тоже
сходится и
=cS
Док-во:
Дано: Sn= a1+a2+a3+….+an Sn=S, тогда σn= ca1+a2+ca3+….+can= =c(a1+a2+a3+….+an)=cSn, тогда σn = cSn= cSn
2)Если сходятся
ряды
=
SA,
=
SB, то
сходится
(
an±bn)=
SA±
SB
Док-во: (Sn)A= a1+a2+a3+….+an
(Sn)B= b1+b2+b3+….+bn
σn = ( an±bn)= ( a1±b1)+ ( a2±b2)+…+ ( an±bn)=( a1+a2+a3+….+an) ±( b1+b2+b3+….+bn )= (Sn)A± (Sn)B
σn = ((Sn)A± (Sn)B)= SA± SB
19.Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения. Модифицированный признак сравнения(доказать).Доказать достаточные признаки сходимости.\ Даламбера, Коши (радикальный, интегральный)
an
(1)
Всегда имеет сумму
А)
Если S
–
конечна
сходится
Б) Если S – бескон рассходится
Необходимое условие сходимости (обычное)
Признаки сравнения
Если an bn, то
an- мажорируемый ряд
bn -мажорирующий ряд
Теорема:
Пусть
(an<bn)
Если
сходится, то и
сходится
Если расходится то и расходится
Доказательство
(Sn)
A=
(Sn)
B=
(Sn)A
(Sn)B
,
SA
B
(2)
Из(2)
Если
– сходится, то
B
-конечная => SA
-конечная <
B
=>
-
сходится
Из(2) Если - – расходится, то SA -бесконечная => B -бесконечная > SA => - расходится
Достаточные признаки сходимости
Признак Даламбера
Если
в ряде
(an
)
=L
L<1-сходится
L>1 расходится
L=1 -??
Доказательство
L<1; =L
L<q<1
=q-L>0
<
<
=
q-L
<q
Начиная
с
aN+1<q*aN
aN+2<q*aN+1<q2an
a1+a2+a3+…aN+aN+1+aN+2+… (4)
aN + q*aN+q2aN+q3aN+… (5)
начиная
с номера
члены ряда (1)<(2)
а ряд (2)-геометрическая прогрессия со знаменателем q>1
=
-
кон.число по теореме сравнения в форме
неравенства
L>1;
=L
члены с каждого номера члены ряда
возрастают an+1>an,
т.е. не выполняется НУС
а значит ряд расходится
в) L=1-???