1) «30» Точка пересечения двух прямых

Координаты (х0, у0) точки пересечения двух прямых получаются совместным решением их уравнений.

«31» Угол между двумя прямыми; условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

Под углом между прямыми в плоскости понимают наименьший (острый) из двух смежных углов, образованными этими прямыми.

Следует обратить внимание на то, что в числителе дроби из углового коэффициента второй прямой вычитается угловой коэффициент первой прямой. Если уравнения прямой заданы в общем виде A₁x + B₁y + C₁ = 0, A₂x + B₂y + C₂ = 0,(6)

угол между ними определяется по формуле (7)

4. Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов: k₁ = k₂.(8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.A1/A1 =B1/B1 (9)

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е. k=-1/k₁ (10)

Уравнение с угловым коэффициентом. y=kx+b k= tg α – угловой коэффициент.

Если b=0 то прямая проходит через начало координат. Уравнение примет вид y=kx

Если α=0, то k = tg α = 0. То прямая пройдет параллельно оси ох. y=b

Если α=π/2, то уравнение теряет смысл. В этом случае уравнение примет

вид и пройдет параллельно оси оу.

Общее уравнение прямой. Ax+By+C=0

A, B, C – произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.

· Если В=0, то уравнение имеет вид

или .x=-C/A Это уравнение прямой, параллельной оси оу. и проходящей через точку (-C/A;0)

· Если В≠0, то получаем уравнение с угловым коэффициентом .y=-A/B-C/B

· Если А=0, то уравнение имеет вид y=-C/B . Это уравнение прямой, параллельной оси ох.

· Если С=0, то уравнение проходит через т. О (0;0).

Уравнение прямой, проходящей через точку, в данном направлении. т М (х₀;у₀).

Уравнение прямой записывается в виде .y=kx+b Подставим в это уравнение точку М y₀=kx₀+b

2) «63» Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала

Определение. Дифферинциалом функции называется главная, линейная относительно ∆х часть приращения функции, равная произведению на приращение независимой переменной dy=f’(x) ∆х

Геометрическией смысл: Геометрически дифференциал равен приращению ординаты вдоль касательной к графику функции, проведенной в заданной точке.

3) «128» Биномиальный закон распределения вероятностей

Пусть имеется некое событие A. Вероятность появления события A равна p, вероятность непоявления события A равна 1–p, иногда ее обозначают как q. Пусть n — число испытаний, m — частота появления события A в этих n испытаниях.

Известно, что суммарная вероятность всех возможных комбинаций исходов равна единице, то есть:

1=pⁿ+np^n–1(1–p)+C_n^n–2p^n–2(1–p)²…+C_n^m·p^m·(1–p)^n–m+…+(1–p)ⁿ.

Pⁿ- вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет n раз;

np^n–1(1–p) – вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет (n-1) раз и не произойдет 1 раз;

C_n^n–2p^n–2(1–p)² - вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет (n-2) раз и не произойдет 2 раза;

Р_m= C_n^m p^m(1-p) - вероятность того, что в n испытаниях событие A произойдет m раз и не произойдет (n–m) раз;

(1–p)ⁿ- того, что в n испытаниях событие A не произойдет ни разу;

— число сочетаний из n по m

Математическое ожидание M биномиального распределения равно: M=n·p,

где n — число испытаний, p — вероятность появления события A.

Среднеквадратичное отклонение σ: σ = sqrt(n · p · (1 – p))

Билет №8

1. «21» Системы линейных однородных уравнений.

2. «71» Достаточное условие экстремума функции в точке.

3. «90» Предел функции нескольких переменных, частное и полное приращение функции, непрерывность функции.

4. Исследовать сходимость ряда