![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •19.Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка (3 типа).
- •20.Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Решение для случая действительных различных корней.
- •21.Решение линейных однородных дифференциальных уравнений для случая комплексных и кратных корней.
- •22.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Структура общего решения.
- •23.Нахождение частного решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами по специальному виду правой части.
- •24.Знакоположительные числовые ряды. Ряд геометрической прогрессии.
- •25.Свойства числовых рядов. Необходимые условия сходимости ряда.
- •26.Достаточные признаки сходимости: признак Даламбера, радикальный признак Коши.
- •27.Достаточный признак сходимости: интегральный признак Коши. Сходимость обобщённого гармонического ряда.
- •28.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
- •29.Функциональные ряды. Область сходимости. Сходимость ряда .
- •30.Степенные ряды . Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
- •31.Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
- •32.Разложение в ряд Маклорена функций еx , sin X.
- •35.Тригонометрический ряд Фурье. 2п – периодическая функция. Теорема Дирихле.
- •36.Разложение в ряд Фурье чётных и не чётных функций.
- •37.Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.
35.Тригонометрический ряд Фурье. 2п – периодическая функция. Теорема Дирихле.
Тригонометрическим рядом называется ряд вида:
,
где
- коэффициенты ряда.
Теорема
Дирихле (достаточные условия разложения
функции в ряд Фурье):
Пусть
- периодическая функция f(x)
на отрезке [-
]
удовлетворяет двум условиям:
1.f(x) – кусочно-непрерывная, т.е. непрерывная или имеет конечное число разрывов первого рода;
2.f(x) – кусочно-монотонна, т.е. монотонна на всем отрезке или этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов, что на каждом из них функция монотонна, тогда соответствует функции f(x) ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:
1.в точках непрерывности функции, сумма ряда S(x) совпадает с самой функцией, т.е. S(x) = f(x);
2.в
каждой точки разрыва функции, сумма
ряда равна:
,
т.е. равна среднему арифметическому
пределов функции f(x)
справа и слева;
3.на
концах интервала, т.е. в точках
,
,
сумма ряда равна:
;
Вывод:
Если функция f(x)
удовлетворяет условиям 1
и 2
теоремы Дирихле, то на отрезке [-
]
имеет
место разложение:
,
коэффициенты вычисляются по формулам:
;
;
.
Это равенство может нарушится только
в точка разрыва функции и на концах
отрезка.
Замечания:
1.Если
функция f(x)
с периодом
,
на отрезке [
]
удовлетворяет теореме Дирихле, то для
вычисления коэффициентов
,
берутся интегралы в пределах [
];
2.Условия Дирихле удовлетворяют большинство функций встречающихся в математике;
36.Разложение в ряд Фурье чётных и не чётных функций.
Если периодическая функция является четной и нечетной, то вычисление коэффициентов Фурье упрощается, а сам ряд Фурье становится неполным.
Из свойства определенного интеграла известно: Если функция f(x) интегрируется на симметричном отрезке [-a;a], то:
Рассмотрим случаи:
1.Если
f(x)
– четная, то
– четная;
– нечетная;
2.Если f(x) – нечетная, то – нечетная;
–четная;
Следовательно:
1.Если
f(x)
– четная, то:
;
;
Тогда
коэффициенты Фурье имеют вид:
;
;
;
Ряд
Фурье для четной функции f(x)
имеет вид:
(1)
2.Если
f(x)
– нечетная, тогда:
;
;
Коэффициенты
Фурье:
;
;
;
Ряд
Фурье для нечетной функции:
(2)
Ряды (1) и (2) называются по косинусам и синусам.
37.Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.
Разлагать в ряд Фурье можно и периодическую функцию с периодом от .
Пусть
функция f(x),
определенная на отрезке [
],
имеет период
,
где
–
произвольное
положительное число) и удовлетворяет
на этом отрезке условиям Дирихле. Сделав
подстановку
,
данную
функцию f(x)
преобразуем
в функцию
,
которая
определена на отрезке [-
]
и
имеет период
.
Действительно,
если
,
то
,
если
,
то
и при
имеем
;
т
.е.
Разложение
функции
в ряд Фурье на отрезке [-
]
имеет вид:
где
Возвращаясь
к переменной x
и заметив, что
,
,
получим:
(1)
где (2)
Ряд
(1) с коэффициентами вычисляемыми по
формулам (2) называются рядо Фурье для
функции f(x)
с периодом
.
З
амечание:
Все теоремы имеющие место для рядов
Фурье
–периодических функций, остаются в
силе и для рядов Фурье функций, период
которых
.
В частности, если f(x)
на отрезке [
]
– четная,то ее ряд Фурье имеет вид:
где
Е
сли
f(x)
– нечетная функция, то
где