- •1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
- •2. Правило Лопиталя.
- •3. Монотонность функции. Достаточное условие возрастания (убывания) функции.
- •4. Локальные экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
- •5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
- •6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции.
- •7. Асимптоты графика функции.
- •8. Свойства неопределенного интеграла.
- •9. Таблица основных неопределенных интегралов.
- •10. Задача о площади (площадь криволинейной трапеции).
- •11. Определенный интеграл.
- •12. Свойства определенного интеграла.
- •13. Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства.
- •14. Формула Ньютона-Лейбница.
- •15. Длина дуги плоской кривой.
- •16. Несобственный интеграл 1-го и 2-го рода.
- •17. Понятие функции нескольких переменных.
- •18. Предел функции нескольких переменных в точке и его свойства.
- •19. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и его свойства.
- •20. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимое условие дифференцируемости.
- •21. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •22. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума.
- •23. Условный экстремум функции нескольких переменных.
- •24. Глобальный экстремум функции нескольких переменных.
- •26. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
- •27. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Общий интеграл, общее и частное решение, задача Коши
- •28. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •29. Комплексные числа и действия над ними.
- •30. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •31. Метод вариации произвольной постоянной.
- •32. Числовой ряд и его сумма. Свойства сходящихся рядов.
- •33. Необходимое условие сходимости числового ряда. Гармонический ряд
- •34. Признаки сравнения сходимости рядов с положительными Членами.
- •35. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •36. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
- •37. Понятие функционального ряда. Область сходимости.
- •38. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов.
- •39. Ряды Тейлора и Маклорена.
14. Формула Ньютона-Лейбница.
Если ф-ция f(х) непрерывна на [a,b] и ф-я F(x) какая-либо первообразная для f(x) на отрезке[a,b] то справедлива формула
.
Док-во:
пусть F(x)первообразная для f(x) на отрезке [a,b], ф-ция Ф(х) так же явл.первообразной. по теореме о множестве первообразных имеем Ф(х)-F(x)=C. Подставим в последнее рав-во вместо х сначала а, потом b=х получим:
Ф(а)-F(a)=C Ф(b)-F(b)=C Ф(а)=∫aa f(x)dx=0 Ф(b)=∫ab f(x)dx
Имеем C=-F(a) ∫ab f(x)dx+F(a)=F(b) ∫ab f(x)dx=F(b)-F(a)
15. Длина дуги плоской кривой.
П усть некот. линия y=f(x), где f(x) – дифф. на отрезке [a; b]
y(k-1) M(k-1)
M1
y k A Mk
M(n-1) B
a=x0 x1 x2 xk x(n-1) b=xn
- длина дуги АВ
16. Несобственный интеграл 1-го и 2-го рода.
Несобственный интеграл 1-го рода назыв. : (1)
Если пердел в (1) сущ-ет. и конечен, то интеграл от [а; + ) f(x)dx назыв. сходящимся в противном случае – расход.
Несобственный интеграл 2-го рода: Пусть f(x) – непр на [a; b] и , то несобств. интеграл 2-го рода. назыв.: (2)
Если пердел в (2) сущ-ет. и конечен, то интеграл от он сходящийся в противном случае – расход.
17. Понятие функции нескольких переменных.
Пусть имеется 2 непустых множества: DR(в квадрате),UR. Если каждой паре чисел (x,y)Dy; по некоторому правилу поставлен в соответствии 1 единственный элемент из множества U, то говорят, что на множестве D задана функция со значениями во множестве U, при этом пишут, что f: DU. Множество D называется областью определения функции, множество U, состоящее из чисел f(x,y), где пара (x,y)D ,называется областью значений функции. Функциональная зависимость: U=f(x,y). Аналогично определяется функция нескольких переменных. Областью определения 2-х переменных может быть плоскость, часть плоскости, ограниченная некоторой замкнутой прямой, либо совокупность нескольких частей плоскости.
18. Предел функции нескольких переменных в точке и его свойства.
Число А называется пределом функции f(x,y), при xxo, yyo, если для любой последовательности точек (xn,yn), сходящейся к точке (xо,yо), но не равной (xо,yо), соответствующая последовательность значений функции f(xn,yn) сходится к числу А. f(xn,yn)A
Св-ва:
1. арифметические операции
2. Если ф-я f имеет предел в т. Ро, то она ограничена в некот. Ебселент-окрестности т. Ро
3. Если , то сущ. такая Ебселент-окрестность т.Ро, к кот. f(P)>0 (<0).
19. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и его свойства.
Функция f(Pn) называется непрерывной в точке Po, если . Непрерывна на мн-ве D , еслиона непрерывна в каждой т., этого мн-ва.
Св-ва:
1. сумма произведения и частное (если делитель ≠0) есть непрер. функции
2. f непрер. на огран. замкнутом мн-ве принимает на этом мн-ве своё наим. и наиб. знач-е
3. f непрер. на огран. замкнутом мн-ве и принимает на этом мн-ве любое знач-е, заключ. м/д m и M.