7. Асимптоты графика функции.

Прямая, к которой приближается график ф., но никогда не пересечёт её, называется асимптотой графика ф. Пусть y=kx+b называется асимптотой графика ф. f(x), при , если . Коэффициент k и b вычисляются

; . Таким образом определяются горизонтальные и наклонные асимптоты. Чтобы определить вертикальную асимптоту, необходимо исследовать функцию в точке разрыва. Прямая x=a называется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если или .

разрыв ф-ции первого вида

8. Свойства неопределенного интеграла.

1. (f(х)dх)'= f(х)

2. df(х)dх)'=f(х)dх

3. dF(х)=F(х)+С

4. kf(х)dх=kf(х)dх, k0.

5. (f(х)g(х))dх= f(х)dхg(х))

9. Таблица основных неопределенных интегралов.

1. 0dх=С.

2. 2.хdх= х+С.

3. 3. х^dх= +С, 1.

4. соsхdх=sinх+С; 5. sinхdх= –соsх+С;

6.  =tgх+С; 7.  =-сtgх+С;

8.  = ; 8а.  = ;

9.  = ; 9а.  = ;

10. а^хdх= а^х/lnх+С; 10а. е^хdх= е^х + С;

11.  ln|х|+С;12.  +С; 13  =ln|х+ |+С

10. Задача о площади (площадь криволинейной трапеции).

y=f(x) – [a; b], f(x)≥0

Найти S:

Для решения, разобьем [a; b] на n частичнымх отрезков [xk; xk+1]; a=x0<x1<…<xn=b.

Эти точки xk – разбиение [a;b].

Внутри кажд. частичного отрезка выберем точку Ck принадлеж. [xk; xk+1] и найдем знач. ф-ии в Ck

f(ck),k=0,…n-1

Sn – площаль всех прямоуг-ов: Sn=(x1-x0)f(c1)+(x2-x1)f(c2)+..+f(xn-xn-1)f(Ck)

xk-xk-1=∆xk

(1)

Пусть S – площадь криволин. трапеции, тогда при больших n имеет место приближ рав-во S≈Sn, причем, чем больше отрезков берем, тем точнее рав-во.

Пусть λ=max∆Xk – наиб. из длин частичных отрезков – диаметр разбиения.

Если в (1) перейти к пределу так, чтобы кол-во част. отрез-ов неогран. возрасло и при этом λ->0, то мы получим знач S криволин. трап:

11. Определенный интеграл.

Определённым интегралом функции f(х) непрерывной на отрезке а, b называется предел интегральной суммы, независящий от дробления отрезка а, b на частичные и выбора точек _i когда наибольшая из длин частичных отрезков стремится к нулю.

12. Свойства определенного интеграла.

Значение о.и. не зависит от выбора переменной интегрирования:

1.

2.

3. С=const

4. для любых a, b, c

5. Если f’(x)>=0, на [a; b] и интегрируема на [a; b ] =>

6.f(x)>=g(x), x принадлеж. [a; b], то

7. пусть f(x) – непрерывна на [a; b ] и m=min f(x), M=max f(x), тогда имеют место неравенства:

8. Т. О среднем значении если f(x)непрерывна на отрезке [a,b] то сущ.на этом отрезке такая т-ка что ∫_a^bf(x)dx=f(c)(b-a).

13. Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства.

Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a,b] тогда она интегрируема на этом отрезке и зн.интегрируема на любом отрезке [a,х] содержащимся в [a,b].

Рассм.ф-цию Ф(х)=∫_а^х f(x)dx- её наз.интегралом с переменным верхним пределом.

Св-ва:

1. Ф(х) непрерывна на [a; b]

2. Если f(x) – непрер. на [a; b], то Ф(х) – дифф-ма на [a; b] и Ф’(x)=f(x).