- •1.Комплексные числа в алгебраической, тригонометрической и показательной
- •2.Многочлены и их делимость. Теорема Безу. Основная теорема алгебры.
- •3. Рациональные дроби и их разложение на сумму простейших дробей. Методы нахождения коэффициентов разложения.
- •4. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •9. Интегрирование иррациональных функций.
- •10. Понятие определенного интеграла и его геометрический смысл.
- •11. Свойства определенного интеграла.
- •12. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
- •13. Замена переменной в определенном интеграле.
- •14. Интегралы от четных, нечетных и периодических функций. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •15. Вычисление площадей плоских фигур (в т.Ч. Площади фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде, и площади плоской фигуры в полярной системе координат).
- •16. Вычисление длины дуги с помощью определенного интеграла.
- •18. Несобственные интегралы первого рода, их свойства и вычисление.
- •19. Несобственные интегралы второго рода
- •21. Понятие функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных в точке, повторные пределы. Непрерывность.
- •22. Частные производные
- •23 . Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые
- •24. Частные производные сложной функции. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала.
- •25. Неявные функции и их дифференцирование.
- •26. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и
- •27. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе.
- •28. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- •29. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое
- •30. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции в
- •31. Интегралы по фигуре от скалярной функции, их свойства, геометрические и физические приложения
- •32. Криволинейный интеграл первого рода
- •33. Двойной интеграл. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярной системе координат.
- •34. Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат.
- •Замена переменных в тройном интеграле.
- •35. Поверхностный интеграл первого рода.
- •36. Интегралы по ориентированной фигуре от векторной функции и их свойства.
- •37. Криволинейный интеграл второго рода, его механический смысл, скалярная
- •Скалярная форма кри-2
- •38. Формула Грина.
- •39. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути. Интегрирование полных дифференциалов.
- •40. Поверхностный интеграл второго рода, его физический смысл, скалярная
- •41. Скалярные поля. Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
- •42. Векторные поля. Поток векторного поля. Дивергенция. Формула
- •43. Циркуляция и ротор векторного поля. Формула Стокса. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути в пространстве.
- •43. Операторы Гамильтона и Лапласа.
- •45 Потенциальное векторное поле и его свойства.
- •46.Соленоидальное векторное поле. Гармоническое векторное поле.
25. Неявные функции и их дифференцирование.
переменная u, являющаяся по смыслу задачи функцией аргументов х, у, ... , задается посредством функционального уравнения
F(u, х, у, ...) = 0. (1)
В этом случае говорят, что u как функция аргументов х, у, ... задана неявно. Так, например, функция u = - , рассматриваемая в круге x2 + y2 ≤ 1, может быть неявно задана посредством функционального уравнения
F(u, х, у) = u2 + x2 + y2 – 1 = 0. (2)
Теорема 1. Пусть функция F(u, х, у) дифференцируема в некоторой, окрестности точки M0(u0, х0, у0) пространства R, причем частная производная непрерывна в точке M0. Тогда, если в точке M0 функция F обращается в нуль, а частная производная не обращается в нуль, то для любого достаточно малого положительного числа ε, найдется такая окрестность точки M0’(х0, у0) пространства R', что в пределах этой окрестности существует единственная функция u = φ(х, у), которая удовлетворяет условию | u - u0 | < ε и является решением уравнения
F(u, х, у) = 0 (3)
причем эта функция u = φ(х, у) непрерывна и дифференцируема в указанной окрестности точки M0’.
26. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и
нормаль к поверхности.
f (x,y)=f(x0,y0)+A∆x+B∆x+o(ρ); z0=f(x0,y0); z=f(x,y); ∆x=x-x0, ∆y=y-y0;
z0=z0+A(x-x0)+B(y-y0); z0-z=A(x-x0)+B(y-y0);
z0-z=fx‘(x0,y0)(x-x0)+fy‘(x0,y0)(y-y0)-ур-ние касательн. плоскости в поверхности.
z=f(x,y) (x0,y0,z0).
Нормалью к поверхн. в данной точке М0(x0,y0,z0) назыв. прямая, проходящая через эту точку перпенд. к касат.
(x-x0)/fx‘(x0,y0)=(y-y0)/fy‘(x0,y0)=(z-z0)/(-1) – ур-ние нормали
(x-x0)/fx‘(x0,y0,z0)=(y-y0)/fy‘(x0,y0,z0)=(z-z0)/fz‘(x0,y0,z0)
27. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе.
Частные производные и называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от . Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков.
Так .
Частная производная второго и более высокого порядков, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.
Теорема. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.
Пусть функция z = f(x;y) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле . Найдем его:
.
Символически это записывается так:
.
Аналогично можно получить формулу для дифференциала 3-го порядка.
Методом мат. Индукции можно показать, что:
, где .
Полученные формулы справедливы лишь если x и y – независимые переменные.
Матрица Гессе имеет вид:
28. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
Формула Тейлора для ф-ции неск.переменых.
u=f(M), k+1-раз. дифф в опр. т. М0€[М]
└→(Rk+1(N))
N отр М0М, u=f(M), k-1 раз.дифф. в окр. k раз дифф в т. М0.
;