3. Перестановки:

Перестановками без повторений из п различных элементов называются все возможные

последовательности этих п элементов.

Число перестановок без повторений из я элементов обозначают символом Рп и

подсчитывают так: Рп = я! = 1 • 2 -... • п (4.4) (символ я! читается «эн факториал»; я!

равен произведению натуральных чисел от 1 до я; по определению 0! = 1).

Пример 8.

Перестановки без повторений из п = 3 различных элементов: а, Ь, с таковы: a,b,c; b,a,c;

b,c,a; a,c,b; c,b,a; с,а,Ь. Число перестановок равно 6. И согласно формуле (4.4)

Перестановками с повторением из я элементов k типов (k < я):

число элементов первого типа Я], число элементов второго типа яз, •-., число элементов k-

то типа nk

У=1

называются все возможные последовательности исходных я элементов.

Число перестановок с повторениями обозначают

СИМВОЛОМ Ря=й,-и12ч- +„, И

подсчитывают так:

"n=nl+№i+ +/k = : :' -.(4.Э)

Пример 9.

Перестановки элементов с повторениями из я = 3: а,а,Ь двух типов (тип «а» повторяется п\

= 2 раза, тип «Ь» повторяется HI = 1 раз), Таковы: a,a,b; a,b,a; Ь,а,а.

173

получим такой же результат: Рз = 3! = 1 -2-3=6.

Число перестановок равно 3. И согласно формуле (4.5) полу-* чим такой же результат:

'

Р 3! -ч

JT 3.2+I =-------- = 3 .

2! 1!

Замечания.

• Если все п элементов разных типов т.е. число типов k — 1 + 1 + ...+ + 1 = и, то число

перестановок с повторениями равно числу перестановок без повторений. Действительно,

/*n=l+l+ + 1 =•

я!

- = и!=А.

1! 11...1!

• Обратим внимание на то, что при любом виде перестановок (и без повторений, и с

повторениями) каждая перестановка включает все п исходных элементов и одна

перестановка отличается от другой только порядком следования этих элементов.

Задача 3.

По следствию должны пройти пять человек: А, В, С, D, Е. Какова вероятность того, что в

списке этих пяти человек, составленном случайным образом:

а) В будет следовать сразу после А;

б) В не будет перед А?

Решение.

Список из пяти человек можно составить N — 5! способами — это общее число

равновероятных возможностей.

а) «В следует сразу после А» в списках следующих видов:

• А, В, ?, ?, ? — таких списков Р^, = 3!, так как последова-

тельность трех букв — трех человек С, D, E на последних трех местах — это некоторая

перестановка букв С, D, E, а число таких перестановок равно РЗ = 3!,

• ?, А, В, ?, ? - таких списков тоже 3!,

• ?, ?, А, В, ? — таких списков тоже 3!,

• ?, ?, ?, А, В — таких списков тоже 3!.

Поэтому в соответствии с правилом суммы число списков, в которых В следует сразу

после А равно: Л/ = 3! +3!+3!+3!=4 • 3! и искомая вероятность Р = M/N = (4 • 3!)/5! = 1/5.

б) «В не будет перед А» в списках следующих видов:

А,

7979

места для В

779

места для В

- таких списков Д. = 4! (последовательность четырех различных букв В, С, D, E на

последних четырех местах — это некоторая перестановка этих букв, а число таких

перестановок равно Ра, = 4!), — таких списков 4! — 3! (если бы не было ограничений на

расположение В, то число списков вида «?, А, ?, ?, ?» было бы равно 4!; из этого числа

надо вычесть количество списков вида «В, А, ?,?,?», а их 3!),

174

• 9 7 А ? ?

• ., ., /\, . 1 •

места для В

• ?,?,?, А, В

— таких списков 41 — 2-3! (из 4! списков вида «?, ?, А, ?, ?» вычитаем 3! списков вида «В,

?, А, ?, ?» и 3! списков вида «?, В, А, ?, ?»), — таких списков 3!

Поэтому число списков, в которых «В не будет перед А» , М = : 4!'+ (4! — 3!) + (4! — 2 •

3!) + 3! = 60 и вероятность того, что в списке, составленном случайным образом, «В не

будет перед А» Р = M/N — = 60/5! = 0,5.

Задача 4.

Какова вероятность получить слово «юрист», переставляя в случайном порядке буквы

этого слова? Какова вероятность получить слово «математика», переставляя в случайном

порядке буквы этого слова?

Решение.

В слове «юрист» все 5 букв разные: число перестановок этих букв равно N = Р$ = 5! и

лишь М = 1 вариант из 5! вариантов дает слово «юрист». Поэтому вероятность получить

это слово Р = =M/N = 1/5! = 1/120.

В слове «математика» п — 10 букв, однако различных букв k =6:

«м», которая повторяется п\ = 2 раза,

«а», которая повторяется /ij — 3 раза,

«от», которая повторяется п^ = 2 раза,

«е», которая повторяется п* = \ раз,

«ы», которая повторяется п$ = 1 раз,

«к», которая повторяется П(, = 1 раз.

Поэтому перестановки букв слова «математика» — это перестановки с повторениями из п

= 10 элементов k = 6 типов, и в соответствии с формулой (4.5) общее число таких

перестановок

— 10!

Рю=2+з+2+1+1 = ' =151 200. Из них только одна пере-

становка дает слово «математика»; вероятность получить это слово, случайно

переставляя буквы, равна 1/151 200.

4. Размещения:

Размещениями без повторений из п различных элементов по т элементов (т < п)

называются все такие последовательности т различных элементов, выбранных из

исходных п, которые отличаются друг от друга или ПОРЯДКОМ следования эле-

Размещениями с повторениями из элементов k типов по т элементов (k и т могут быть в

любых соотношениях: m<k, m>k) называются все такие последовательности т элементов,

принадлежащих исходным типам, которые отличаются

175

i

ментов или составом эле- друг от друга или

порядком

следования

элементов

НИ

И

ментов

составом элементов.

т

\

Число размещений без повторений из п элементов по т обозначают символом А™ ,

Ат=-

п\

(и-т)!'

где л! = 1 • 2 • 3 (л-/п)! = 1 -2- .

(4.6)

. • и;

(п - т).

Пример 10.

Размещения без повторений из л = 3-Х различных элементов: а,Ь,с по т — 2 элементов

таковы a, b; b, а; а, с, с,а; b,c; c,b Число размещений равно 6; и согласно формуле (4.6)

получим такой же результат:

Аг _ У. _ 3! _ 1-2 3 _ 3 ~ (3 - 2) ~ 1! ~ 1

Замечание.

Формулой (4.7) мы пользовались и ранее, не приводя ее Так подсчет числа строк в

таблице истинности высказывания, состоящего из т — = 3-х простых высказываний,

каждое из которых может быть k = 2-х типов (или «и» - истинным, или «л> -ложным), или

подсчет числа подмножеств множества П, состоящего из т - 3-х элементов, для каждого из

которых может быть k = 2 варианта (или элемент войдет в подмножество или не войдет), -

это подсчет числа размещений с повторениями'

А"' = Al = 23 = 8

> Выборка без возвращения и выборка с возвращением

• Выборка без возвращения. Пусть имеется совокупность п элементов, пронумерованных

числами 1, 2, ..., п; назовем эту совокупность генеральной. Случайным образом выберем

элемент (этот выбор можно осуществить так: номера напишем на одинаковых карточках

и, перемешав карточки, вслепую наугад вытащим одну; ее номер и будет номером

отобранного элемента). Отобран-

176

Число размещенщ с повторениями из k типов элементов по т элементов

обозначают А"

,

(4.7)

Пример 11.

Размещения с повторениями из элементов k = 2-х типов: тип «а» и тип «Ь», по т — 3

элементов гаковы: а,а,а; b,a,a, a,b,a, a,a,b, b,b,a; b,a,b, a,b,b; b,b,b. Число размещении с

повторениями равно 8; и согласно формуле (4.7) получим такой же результат:

I

ный элемент отложим в сторону. Повторим выбор т раз (т<п), не возвращая отбираемые

элементы в исходную генеральную совокупность (не возвращая отбираемые карточки

обратно). В результате окажется выбранной некоторая группа из т элементов. Ее

называют т — выборкой без возвращения из генеральной совокупности объема п. Вернем

т отобранных элементов в генеральную совокупность и вновь «без возврата» отберем из я

элементов т элементов и т.д. Сколько существует различных т выборок, если различными

считать выборки, отличающиеся или составом номеров вошедших в них элементов иди

порядком следования номеров? Число таких выборок равно числу размещений без

повторений (ведь в выборке не может оказаться одинаковых номеров) из я по т:

п\

" (п-т}\'

• Выборка с возвращением. Из той же совокупности я элементов отберем т элементов, но

перед выбором каждого следующего элемент, отобранный на предыдущем шаге, будем

возвращать в исходную генеральную совокупность, предварительно, запомнив его номер.

Выбранную (запомненную) группу из т элементов называют т — выборкой с

возвращением из генеральной совокупности объема я (при выборке с возвращением тип

могут находиться в любом соотношении: т<п и т>п). Поскольку каждый из отобранных т

элементов может быть я типов: иметь номер 1, иметь номер 2, ..., иметь номер я, то число

различных т выборок с возвращением равно числу размещений с повторениями (ведь в

выборке могут оказаться два и более одинаковых номеров) из элементов я

типов по т элементов: А% = пт .

Задача 5.

В фирме работают 8 человек одинаковой квалификации, среди них Иванов, Петров,

Сидоров. Случайно выбранным трем из них (из восьми) поручают три различных вида

работ (первому выбранному — работу первого вида, второму выбранному — второго

вида, третьему — третьего вида). Какова вероятность того, что работа первого вида будет

поручена Иванову, второго — Петрову, третьего — Сидорову?

177

Решение.,

Отбор трех человек из восьми, в условиях задачи, - это выборка без возврата, где важен не

только состав отобранных людей, но и то, в каком порядке они отобраны, так как от

порядка отбора зависит распределение работ. Поэтому число вариантов

О|

отбора m = 3 из и = 8 N = А^ = = 336 , и только в одном

(8-3)!

варианте (М= 1) из этих 336 работа первого вида будет поручена Иванову, второго —

Петрову, третьего — Сидорову. Поэтому искомая вероятность Р = M/N — 1/336.

Задача 6.

Замок камеры хранения имеет четыре диска, каждый из которых разделен на 10 секторов;

на секторах каждого из дисков написаны цифры О, 1, 2, ..., 9. Какова вероятность открыть

закрытую камеру для человека:

а) забывшего все, что он набрал на дисках, закрывая камеру;

б) помнящего только цифру, набранную на первом диске;

в) помнящего только, что ни на втором, ни на третьем, ни на четвертом диске он не

набирал цифры 6?

Решение.

а) Пытаясь открыть камеру с четырьмя дисками, человек, по сути, выбирает количество

цифр т — 4 из п = 10, при этом осуществляется выбор с возвратом. Общее число

вариантов такого выбора ЛГ = AW =10", из которых только в варианте М = 1 камера

откроется. Поэтому искомая вероятность равна 1/104.

б) При известной цифре на первом диске, общее число вариантов «набора» цифр на трех

оставшихся дисках N = Af0=\(f-

Искомая вероятность равна 1/103.

в) На первом диске может быть набрана любая из десяти цифр. Число вариантов набора

цифр (уже не из десяти, а из девяти) на трех оставшихся дисках равно Д,3 = 93. Общее

число вариантов набора цифр на четырех дисках, с учетом правила произведения, будет N

= 10 • 93. Искомая вероятность равна 1/(10 • 93).

5. Сочетания:

Сочетаниями без повторений из п различных элементов по т элементов (т<п) называются

все такие последовательности т различных элементов, выбранных из исходных п, которые

отличаются друг от друга составом элементов.

178

Сочетаниями с повторениями из элементов k типов по т элементов (kvim могут быть в

любых соотношениях: m<k, m>k) называются все такие последовательности т элементов,

принадлежащим исходным типам, которые отличаются друг от друга составом элементов.

Число сочетаний без повторений из п элементов по т обозначают символом С"

Ст =-

п\

т\(п-т)\

(4.8)

Пример 12.

Сочетания без повторений из трех различных элементов, л = 3: а,Ь,с по т = 2 таковы: a,b;

a,c; с,Ь (сочетания отличаются друг от друга только составом элементов, поэтому,

например, последовательности «а,Ь» и «Ь,а» - это одно и то же сочетание). Число

сочетаний без повторений - 3. И согласно формулы (4.8) получим такой же результат:

2

Задача 7.

Число сочетаний с повторениями из k типов элементов по т элементов

обозначают символом С™ 7=-(ОШ2. (4.9)

i\i x '

Пример 13.

Сочетания с повторениями из элементов двух типов, k = 2: тип «а» и тип «Ь» по т = 3

таковы: а,а,а; Ь,а,а; b,b,a; b,b,b (сочетания отличаются друг от друга только составом

элементов, поэтому, например, последовательности: «b,a,a», «a,b,a» и «а,а,Ь» — это одно и

то же сочетание).Число сочетаний с повторениями — 4. И согласно формулы (4.9)

получим такой же результат - (2 + 3-1) '_ 4' ^ 2 3' (2-1) ! 34'

В примере 5 в качестве «голосующей коалиции» был рассмотрен Совет безопасности

ООН. Каково число выигрывающих и минимальных выигрывающих коалиций в Совете

безопасности? Решение.

Напомним выигрывающая коалиция включает «большую пятерку» и не менее двух из

шести представителей малых наций. Поскольку «большая пятерка» в любой

выигрывающей коалиции обязательно должна присутствовать, то вариативность выигры-

вающих коалиций определяется количеством (или 2, или 3, или 4, или 5, или 6) и составом

вошедших в них представителей малых наций. Число вариантов выбора из 6

представителей малых наций двух представителей равно числу сочетаний (ведь порядок

выбора не важен!) без повторений из п = 6, по от = 2, т.е.

С* - в! _]5 — именно столько будет минимальных 6 2! (6-2)!

выигрывающих коалиций. Аналогично, число вариантов выбора из 6 представителей

малых наций трех равно С63 = 20, четырех — Сб = 15 , пяти — d = 6 , шести - С| = 1 •

Окончательно, число выигрывающих коалиций, в соответствии с правилом суммы, равно

Cl + Cl + Cl + Cl + Cl = 57 . Задача 8.

Известно, что 5 из 40 пассажиров автобуса замешаны в похищении крупной суммы денег.

На остановке к автобусу подошел инспектор уголовного розыска и заявил, что ему для

обнаружения по крайней мере одного преступника достаточно произвести

179

обыск у шести наугад выбранных пассажиров. Что руководило инспектором, риск или

трезвый расчет?

Решение.

Дадим «урновую» интерпретацию условий задачи Пусть К = 40 пассажиров — это 40

пронумерованных шаров в урне, из которых Ј = 5 черные (это виновные пассажиры) и К—

L = 35 — белые (это невиновные). Из урны наудачу берут k = 6 шаров (пассажиров).

Число вариантов выбора k = 6 из К = 40 шаров

N = CK = 040 (используем сочетания без повторений, так как

шары пронумерованы разными числами и важны номера отобранных шаров, но не

порядок). По условию в выборке должен оказаться по крайней мере один черный шар

(виновный), т.е. в выборке должен оказаться один из следующих вариантов:

либо / = 1 черный шар и k ~ I = 5 белых,

либо 1=2 черных шара и k — I = 4 белых,

либо / = 3 черных шара и k — I = 3 белых,

либо / = 4 черных шара и k - I = 2 белых,

либо / = 5 черных шаров и k - I = 1 белый.

Число вариантов выбора 1 = 1 черного шара (виновного) из L = 5 черных равно С[ = С], а

поскольку в каждом таком варианте должно быть выбрано k — /=6-1 = 5 белых шаров

(невиновных) из К — L = 40 — 5 = 35 белых, что можно сделать Cjfl/, = С|з способами, то

число вариантов выбора / = 1 черного шара и k — I = 5 белых, согласно правилу

произведения, равно C[CK~JL = CjC^s (4.30,o) Аналогично число вариантов отбора

• 1=2 черных иЈ-/ = 6-2 = 4 белых шара равно C'.CK'-L = CsCU (Рис 4 30,6),

/ = 3 черных и k - I = 3 белых = С3С35 , 1=4 черных и k - I 1=5 черных и k - I

1 белых = С54С325 , 1 белых = С55с]5 .

I

Рис. 4.30

Тогда число вариантов выбора б шаров (пассажиров) из 40, в которых окажется по

крайней мере один черный шар (виновный), согласно правилу суммы, будет Л/ =

С}СЈ+С?СЈ+С?СЈ + +CfC,,+ClC^, =2 215 220. И вероятность обнаружения в выборке из

шести пассажиров по крайней мере одного преступника равна

р"*~й*—7*— = 0'57' т-е' вероятность превысила значение

N Qo

0,5, что, по-видимому, и дало основание инспектору назвать число 6.

Вероятность того, что при отборе «без возвращения» из К пронумерованных шаров, среди

которых L черных и К— L белых, k шаров в выборке окажется / черных и k — I белых,

рассчитывается по формуле гипергеометрической вероятности:

г* "Г*1- <4ЛО>

^К

Задача 9.

Инвестор формирует портфель ценных бумаг. Он может вложить свои деньги в акции 5

различных фирм. Сколькими способами инвестор может образовать набор из 7 акций и

какова вероятность того, что в набор попадут 4 акции, принадлежащие различным

фирмам? Решение.

По условию из акций, количество типов которых k = 5, инвестор составляет набор из семи

акций (т = 7), в число таких наборов может, в том числе, входить и набор, все 7 акций

которого принадлежат какой-то одной фирме Очевидно, что для инвестора важен только

состав набора: акции каких фирм и в каких количествах они входят в набор, и совсем не

важен порядок следования отобранных акций. Поэтому количество таких наборов равно

числу сочетаний с повторениями из элементов k = 5 типов по т = 7 элементов N • Q7 или,

учитывая формулу (4.9),

= 330.

Среди этих наборов количество наборов, в каждом из которых 4 акции принадлежат

различным фирмам, равно числу сочетаний без повторений из 5 элементов (5 различных

фирм) по 4:

.. -.. 9

Искомая вероятность Р

—

__5_

= ззо'

J_ 66'

180

181

4.2.3. Вычисление вероятностей составных высказываний

Ранее было введено понятие несовместимых высказываний. Несовместимость

высказываний, определенных на множестве логических возможностей (универсальном

множестве) П, означает, что эти высказывания никогда не могут оказаться одновременно

истинными.

Введем понятие независимости высказываний. Пусть а и b — два высказывания,

определенные на универсальном множестве Q. Предположим, что получена информация,

согласно которой высказывание, скажем а, истинно. Вероятность высказывания b после

получения такой информации о высказывании а называется условной вероятностью и

обозначается символом Ра(Ь), который следует читать «вероятность b при условии а». Вы-

сказывание b не зависит от а, если вероятность b при условии а равна вероятности Ь, т.е.

Ра(Ь) = Р(Ь) (4.11)

Свойство независимости является взаимным:, если b не зависит от а, то и а не зависит от

Ь, т.е. Р ь(а) = Р(а). При независимых а и b так же независимы а и ~Ь, ~а и Ъ, ~а и ~Ь.

Если Ра(Ь) Ф Р(Ь), то высказывания а и b зависимы (так

же зависимы а и ~Ь, ~а и Ь, ~а и ~Ь). Пример 14.

Вернемся к примеру 2. Имеется две урны, в первой лежат один белый и два черных шара,

во второй - один белый и один черный. Наугад выбирается одна из урн и из нее

последовательно без возвращения вынимаются два шара.

Каждой из пяти логических возможностей (рис. 4.10,о) соответствует свой «путь».

Отрезки, составляющие путь, назовем «ветвями». Присвоим им вероятности.

Введем высказывания: а — «выбрана первая урна», Ъ = =«первый выбранный шар

белый», с = «второй выбранный шар белый» (рис. 4.31).

Рассуждаем так. Выбор наугад одной из двух урн означает,

что Р(а)=Р(~а)=—, где ~а — это высказывание «выбрана не первая ( а вторая ) урна»; эти

вероятности проставлены на соответствующих ветвях (рис. 4.31). Далее, если выбрана

первая урна, т.е.

истинно высказывание а, то Ра(Ь)~— , а Ра(~Ь)-—: ведь в первой урне три шара, из

которых один белый и два черных. Далее,

182

если истинно высказывание алЬ, т.е. выбрана 1-я урна и из нее взят белый шар, то в урне

останется 2 шара, и оба они черные,

поэтому РО*Ь(~С)=— =1. Урна

1/2

Начало

шр

2/2=1

1/2^-

~-

2-й шар

- ч(~с)

- б(с)

Путь

первы

й

второй

1^"-^

1/1=1

• ч(~с) -

ч(~с)

третий

четвер

тый

б(с)

пятый

Рис. 4.31

Итак, вероятности ветвей первого пути таковы:

2 " ' 3 Аналогично, вероятности ветвей:

второго пути Р(о)= —, Р„(~Ь)~ -

третьего пути

четвертого пути Р(~а)= -, />„„(Ј,)= I P ж~с)=--2 2 Л 1

пятого пути д_-1= — D ' "— ' - . 1

,. '

п~а;= -, г-а(~ь)= -, Дал-*(с)= -= 1.

Можно ли выразить условную вероятность Ра(Ь) через «безусловные» вероятности? Да,

если До) * 0, т.е. если высказывание а не является логически ложным. Соответствующая

формула имеет вид:

: 0. (4.12)

- V"/

Обоснование формулы такою: информация о том, что высказывание а истинно, сокращает

число логических возможностей универсального множества П, на котором определены

высказывания а и b и их вероятности Да) и Дй); оно будет сведено к числу возможностей

множества А истинности высказывания а. Это, в свою очередь, приво-

183

дит: во-первых, к уменьшению всех вероятностей, определенных на П, в Да) раз и, во-

вторых, к тому, что множеством истинности высказывания Ь будет не В, а А П В. Поэтому

Ра(Ъ)= I Т^Г = -рЬ 1^)=ТЬ(°Л6)- П°ЛУЧИЛИ

щеАПВ Р(°> Р(а> т,еАПВ F(0>

формулу (4 12).

Из формулы (4.12) вытекают следующие формулы:

> Формула вероятности конъюнкции двух зависимых высказываний

Р(алЬ) = Р(а4)Ра(Ь). (4.13)

> Формула вероятности конъюнкции двух независимых высказываний (напомним, что в

этом случае Pa(b)=P(b))

Далб) = Р(а)Р(Ь). (4.14)

Обобщение формулы (4.13) на случай трех высказываний а, Ь, с имеет вид:

Далйлс) = Да) Ра(Ь)РалЬ(с). (4.15)

Замечание.

Для расчета Далйлс) можно использовать 3! = 6 тождественных формул, в том числе,

например такую: Далблс) = Делали) = Р(с)Рс(а)Рс«,(Ь)-

Обобщение формулы (4.14) на случай трех независимых в совокупности высказываний

a,b,c (a,b,c — независимы в совокупности, если независимы а и Ь, а и с, алии с, алей 6, Ъ/\с

и а) имеет вид:

Р(алЬлс) = Р(а)Р(Ь)Р(с). (4.16)

Пример 15.

В примере 14 были приписаны вероятности ветвям всех путей дерева логических

возможностей (рис. 4.31). Используя введенные в примере высказывания а, Ь т с, найдем

вероятность каждой логической возможности:

№

возможно

сти

Высказыв

ание

Вероятность

1 а/\Ь/\~с

Р(а}Ра(Ъ)РалЬ(~с} = L

L l =

1 6

2 вЛ~ЙЛС

P(a)Pa(~b)Pa^b(c)=L 1

1 = 1 6

3 ал~йл~с 1 2 1 2 3 2 1 6

4 ~алйл~с

L L i.

2 2 1 4

5 ~а/\~Ьлс

L L , =

2 2 1 4

184

Заметим, логические возможности не равновероятны. Однако равновероятны

возможности 1, 2, 3, соответствующие высказыванию а = «выбрана первая урна»;

вероятность каждой из них равна 1/6. Аналогично, равновероятны возможности 4 и 5,

соответствующие высказыванию ~а = «выбрана вторая урна»; вероятность каждой из них

равна 1/4.

Из рассмотренного выше алгоритма приписывания высказываниям вероятностей

вытекают следующие формулы:

> Формула вероятности дизъюнкции двух несовместимых высказываний:

P(avb) = Да) + Р(Ь). (4.17)

Действительно, множеством истинности высказывания является множество A U В, где А и

В - множества истинности соответственно высказываний а и Ь, и в соответствии с (4.2)

(0,eA|jB

Из несовместимости же а и Ь следует, что А и В не имеют

общих точек (рис. 4. 18, о), поэтому

ш, еА

ю, ЕВ

Окончательно Р(а\/Ь) = Да) + Д6).

> Формула вероятности дизъюнкции двух совместимых высказываний:

P(avb) = Да) + Р(Ъ) - Дали). (4.18)

Действительно, множества истинности А и В совместимых высказываний имеют общие

точки (рис. 4.18,6) и в этом случае Z />,)= Ј/Ч<о,)+ Х^КЬ У/»(•»,) или

ы; еАу В о, е А о, еВ t

P(avb) = Да) + Р(Ь) - Дал*).

> Формула вероятности отрицания высказывания:

Р(~а) = 1 - Р(а). (4.19)

Действительно, с одной стороны противоположные высказывания а и ~а — несовместимы

и согласно (4 17): P(av~a) = = Да) + Д~а). С другой стороны, высказывание av~a — логиче-

ски истинное, поэтому P(av-~a) = 1. Окончательно, Да) + Д~а) = = 1 или Д~а) = 1 - Да)

Обобщение формулы (4.17) на случай трех попарно несовместимых высказываний а, Ь, с

имеет вид

P(avbvc) = Да) + Р(Ь) + Р(с). (4.20)

185

Замечание.

Из попарной несовместимости трех высказываний следует несовместимость всех трех;

однако обратное утверждение неверно: при несовместимости а,Ь,с возможна их попарная

совместимость (см. пример 6).

Обобщение формулы (4.18) на случай трех высказываний имеет вид:

P(avbvc) = Р(а) + Р(Ь) + Дс) -- Д2>лс) + ДалАлс).

- Деле) -(4.21)

В справедливости этой формулы нетрудно убедиться, используя изображенные на рис.

4.32 множества А, В, С истинности высказываний а, Ь, и с и множество A U В U С (оно

заштриховано) истинности высказывания avbvc,

Задача 10.

AUBUC

Рис. 4.32

В группе 9 человек, из которых положительные оценки имеют

6 человек — по юриспруденции (=в), 5 — по математике (=6),

7 — по информатике (=с),

4 — по юриспруденции и математике (=влЈ),

2 - по юриспруденции и информатике (еле),

3 — по математике и информатике (=Ьлс), 1 — по всем трем

предметам (=ал/>лс).

Если ли в этих сведениях ошибка?

Решение.

По условию задачи высказывания а, Ь и с совместимы как попарно, так и все три. Поэтому

общие точки (логические возможности) будут иметь как любая пара множеств А, В, С

истинности этих высказываний, так и все три (рис. 4.32). В группе 9 человек, До)=6/9,

Р(Ь)=5/9, Дс)=7/9, Р(алЬ)=4/9, Двлс)=2/|, Дйлс)=3/9, Двлйлс)=1/9 и в соответствии с (4.21):

|

. 6 5 7 4 2 3 1 10 1 '

c) = — + — +----------------+ — = — = 1—.

99999999 9

186

Получили: вероятность P(avbvc)>l, чего быть не может. Следовательно, в сведениях есть

ошибка. Задача 11.

Жюри состоит из трех человек X, Y, Z; X и Y, каждый с вероятностью р = 0,8 принимают

правильное решение, a Z для вынесения решения подбрасывает монету. Члены жюри

действуют независимо. Решение принимается большинством голосов. Какова вероятность

правильного решения? Решение.

Введем высказывания:

а = «X примет правильное решение», Да) = 0,8, Д~а) = 0,2;

b = «Y примет правильное решение», Р(Ь) = 0,8, Р(~Ь) - 0,2;

с = «Z примет правильное решение», Р(с) = 0,5, Р(~с) = 0,5.

Правильное решение будет принято, если правильное решение будет принято какими-то

двумя членами жюри или всеми тремя: правильное решение примут X, Y, но не Z; или X,

Z, но не Y; или Y, Z, но не X; или X, Y и Z, т.е. будет истинно высказывание:

(алЬл~с)ч(ал~Ьлс)ч(~а/\Ьлс)ч(алЬлс). Поскольку компоненты этой дизъюнкции попарно

несовместимы, а компоненты конъюнкций, расположенных в каждой скобке, независимы

по условию задачи, то искомая вероятность

=P(a)P(b)P(~c)+P(a)P(~b)P(c)+P(~a)P(b)P(c)+P(a)P(b)P(c^ =0,8 0,8 0,5 + 0,8 0,2 0,5 + 0,2

0,8 0,5 + 0,8 0,8-0,5 = 0,8. Дерево логических возможностей с указанием вероятностей

путей изображено на рис. 4.33; пути, ведущие к принятию положительного решения, и их

вероятности выделены.

Путь Вероятность

2-й

0,82 0,5

0,5

3-й 0,8-0,2 flj

4-й 0,8 0,2 0,5

5-й *"'%t,2 0,8 <Ые

6-й

7-й

0,2 0,8 0,5 0,22 0,5

8-й 0,22 0,5

1= 1

Приведем (без вывода) еще ряд наиболее часто пользуемых формул вычисления

вероятностей. > Формула полной вероятности:

Ph(a) (4.22)

> Формула Байесв:

используется, если выполняются следующие условия:

1) высказывание а истинно лишь при ис-тинности одного из высказываний

h\, hi, ..., Н„, называемых гипотезами;

2) гипотезы h\, U2, ••-, hn попарно несовмес- У 4.23 тимы;

3) дизъюнкция h\vhi,v...,vhn гипотез -логически истинное высказывание.

Замечание.

Выполнение второго и третьего условий тождественно тре-

бованию:

Л*,) + ДЛа) + ... + Л*») = 1-

Множества истинности высказываний, удовлетворяющих условиям (4.23), для случая трех

гипотез (я = 3) изображены на рис. (4.34). В силу попарной несовместимости гипотез

никакая пара множеств HI, H2, Н3 их истинности не имеет общих точек; а в силу

логической истинности дизъюнкции гипотез множество истинности дизъюнкции HI и

Н2иНз = П, где Q - универсальное множество логических возможностей, на котором опре-

делены все четыре высказывания: a, h\, hi, АЗ.

Рис. 4.34

-,/ = !+« (4.24)

•« Vй/

используется, если в дополнение к условиям (4.23) выполняется условие: