4.1.2. Логические возможности. Логически истинные и логически ложные высказывания

Выше отмечалось, что число строк в таблице истинности высказывания, состоящего из я

простых высказываний, равно 2" — именно столько существует различных комбинаций

значений истинности я простых высказываний. Однако, в конкретных ситуациях

появление некоторых из этих комбинаций невозможно в принципе, и поэтому число строк

таблицы истинности «можно уменьшить».

Свяжем каждое высказывание с определенными логическими возможностями и

условимся, никакое предложение не рассматривать как высказывание до тех пор, пока не

определено множество связанных с ним логических возможностей. Если же речь идет

одновременно о нескольких высказываниях (а именно так обстоит дело при изучении

составных высказываний), потребуем, чтобы каждое из них было связано с одним и тем

же множеством логических возможностей. Понятие множества логических возможностей

поясним на следующем примере. Пример 1.

Жюри из трех человек X, Y,Z принимает решение большинством голосов, при этом есть

только два варианта голосования для каждого члена жюри- «за» (+) и «против» (—)

Возникающие при голосовании логические возможности представлены на рис 4 8,а, а так

называемое дерево логических возможностей — на рис 4 8,6

143

№

возможности ,* *

Обратим внимание на то, что таблица истинности высказывания: «X проголосует «за» (=а)

или Y проголосует «за» (=Ь), или Z проголосует «за» (=с)», т.е. высказывания avbvc, (рис.

4.9) содержит столько же строк, сколько и таблица ло-щческих возможностей (рис. 4.8,о):

Рис. 4.9

144

Это объясняется тем, что все комбинации значений истинности высказываний а, Ь, с

логически возможны.

К множеству логических возможностей предъявляв ются два требования:

• в любых условиях должна осуществляться одна и только одна из возможностей

множества;

• в рамках этого множества должно определяться значение истинности любого

высказывания по изучаемой проблеме.

Логические возможности в примере 1 (рис 4 8) первому требованию удовлетворяют, они

удовлетворяют и второму ведь все логические возможности — это все мыслимые

комбинации значений истинности высказываний а, Ь, с

Логически истинным называют высказывание, истинное при каждой логической

возможности. Логически ложным называют высказывание, ложное при каждой

логической возможности.

В условиях примера 1 высказывания

« «жюри примет какое-то решение» — логически истинное,

• «жюри не примет никакого решения» — логически ложное;

• «по крайней мере два члена жюри проголосуют «за» (=(алйл~с) v (вл~6лс)

\/(~влЈлс)\/(ял6лс))» — истинно в возможностях № 2, 3, 5, 1 (рис 4 8,о),

• «только два члена жюри проголосуют «за» (=(алйл~с) v у (вл~6лс)у (~йл6лс))» -

истинно в возможностях № 2,3,5

Для ряда проблем можно построить не одно, а несколько множеств логических

возможностей. Поэтому ответ на вопрос «для скольких возможностей то или иное

высказывание истинно?» зависит от рассматриваемого множества логических

возможностей. Однако логически истинные (логически ложные) высказывания являются в

этом отношении исключениями: они истинны (ложны) на любом множестве логических

возможностей, относящемся к изучаемой проблеме.

Пример 2.

Имеются две урны, первая из которых содержит один белый и два черных шара с

номерами 1 и 2, а вторая — белый и черный, из наудачу взятой урны вынимают

последовательно два шара (к такой ур-новой модели сводится, например, следующая

ситуация известно, что в городе действуют две преступные группировки, в первой — одна

женщина и двое мужчин, во второй — женщина и мужчина, двумя лицами,

принадлежащими к какой-то одной группе, совершена кража).

145

Множество логических возможностей и их дерево для случая, когда нас интересует только

цвет вынутых шаров (пол преступников) изображены на рис. 4.10 (белый шар - «б»,

черный — «ч»), а для случая, когда нас интересует не только цвет (пол), но и номера

вынутых шаров (фамилии мужчин из первой группировки) — изображены на рис. 4.11

(черный шар с номером 1 — «ч!»).

2-й шар

1-й шар

Урна

2-й шар 1-й шар

Урна

ч! ч2б ч2б ч!

VVV

ч! ч2

Первая

Вторая

Начало

Начало

Рис. 4.10

Первое множество логических возможностей (см. рис. 4.10) «более грубое», чем второе

(см. рис. 4.11): оно оказывается достаточным для определения значения истинности

высказываний, в которых акцент сделан только на цвет, и не достаточным - для

высказываний, в которых фигурируют и цвет и номер шара; в рамках же второго, более

детального множества, определяются значения истинности высказываний как первого, так

и второго типа. Высказывание «выбрана 1-ая урна и из нее вынуты белый и черный

шары» истинно на первом множестве — в возможностях №1,2 (см. рис. 4.10,а), а на

втором — в возможностях № 1, 2, 3, 5 (см. рис. 4.11,а). Высказывание «выбрана 1-ая урна

и из нее первым вынут белый шар, а вторым — черный» истинно на первом множестве

только в возможности № 1, а на втором - в возможностях №1,2. Случаи же истинности

высказывания «выбрана первая урна и из нее белый шар и черный с номером 1» могут

быть установлены только на втором множестве — это случаи № 1, 3 (см. рис. 4.11,а).

146

Рис. 4.11

Обратим еще раз внимание на то, что число логических возможностей всегда не больше

числа строк таблицы истинности любого высказывания по рассматриваемой проблеме.

Так, если нас интересует только цвет вынутых шаров и простые высказывания таковы: а =

«выбрана первая урна», Ь = «первым извлечен белый шар», с = «вторым извлечен черный

шар», то таблица истинности любого высказывания, состоящего из этих трех простых,

будет иметь 23 = 8 строк, тогда как логических возможностей - пять (см. рис. 4.10,а).

Также обратим внимание на то, что высказывание, являющееся логически истинным,

может иметь различные значения истинности в таблице истинности. В подтверждение

составим таблицу истинности высказывания a->(~bvc), где а, Ь, с определены выше, и

сопоставим ее с таблицей логических возможностей (см. рис. 4.10,а).

147

Таблица истинности приведена на рис. 4.12, в ней выделены строки, появление которых

логически невозможно.

Рис. 4.12

Окончательно, при любой логической возможности импликация a-»(~Avc) истинна, т.е.

это логически истинное высказывание. Словесная формулировка импликации такая: «если

будет выбрана первая урна, то хотя бы один из двух вынутых шаров — черный»; в ее

логической истинности нетрудно убедиться, взглянув на ответвления дерева логических

возможностей, выходящие из корня «Первая» (см. рис. 4.10,6). Однако в рамках всей

таблицы истинности высказывание a~*(~bvc) не всегда истинно (см. первую выделенную

строку на рис. 4.12).