- •1.Матрицы и действия над ними.
- •3.Обратная матрица.
- •4 Ранг матрицы.
- •5.Системы линейных уравнений.
- •6. Системы линейных уравнений, метод обратной матрицы и метод Крамера
- •7.Системы линейных уравнений, метод Гаусса
- •8. Системы линейных однородных уравнений, фундаментальная система решений
- •11. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, расстояние от точки до прямой
- •14. Уравнение плоскости и прямой в пространстве
- •15. Функция и её основные свойства
- •16. Элементарная функция, классификация функций
- •17. Предел числовой последовательности
- •18. Предел функции в бесконечности и в точке
- •19. Бесконечно малые величины
- •20.Бесконечно большие величины
- •21. Основные теоремы о пределах ф-ии.
- •22. Замечательные пределы.
- •23. Понятие непрерывности ф-и.
- •24. Определение производной, зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •25. Схема вычисления производной, основные правила дифференцирования
- •26.Производная сложной функции. Производная обратных функций.
- •27. Производные основных элементарных функций, производные высших порядков.
- •28. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •29. Правило Лопиталя.
- •30. Возрастание и убывание функций.
- •31. Точки экстремума.
- •32.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •33. Выпуклость и вогнутость кривой.
- •34. Асимптоты.
- •35. Схема исследования функций
- •37. Первообразная функция. Неопределенный интеграл.
- •38. Неопределенный интеграл и его св-ва.
- •45. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определённом интеграле
- •47. Несобственные интегралы.
- •49. Дифференциальные уравнения, неполные дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •50. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •51. Линейные ду 1 порядка.
- •52. Ду второго порядка
- •53. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •54. Числовые ряды.
- •55. Необходимый признак сходимости гармонический ряд
- •58. Область сходимости степенного ряда
- •59.Ряд маклорена:
- •61. Функции нескольких переменных
- •65.Эмпирические формулы, метод наименьших квадратов
- •63. Экстремум функции нескольких переменных.
- •64. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа
52. Ду второго порядка
Общий вид: F(x,y,y’,y’’)=0. Общее реш-е содержит 2 независимые произвольные постоянные с1 и с2. Если заданы начальные условия y(x0)=y0, y’(x0) = y’0, то из с-мы можно найти произв постоянные с1 и с2, тем самым найти частное реш-е
Ур-я 2-го порядка решаются путём применения неопределённого интегрирования в след случаях:
1. Пусть
; ; ;
;
+c
2.
Положим , тогда
=> данное ур-е примет вид: , те получаем ур-е 1-го порядка с разделяющимися переменными.
Однородные линейные ДУ 2-го порядка имеет вид: ; p,q – нек действительные числа.
Искать решение в виде
λ2+pλ+q=0 – характеристическое ур-е.
1 случай: ур-е имеет 2 действит корня, λ1≠ λ2, тогда общее реш-е имеет вид:
2 случай: ур-е имеет 2 действит совп корня λ1= λ2= λ
Общее реш-е:
3 случай: корни квадратного ур-я мнимые: λ1,2= ,
Общий вид:
53. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных вида: где p0, p1, …,pn – функции от х или постоянные величины, причем p0 0.
Левую часть этого уравнения обозначим L(y).
Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x) 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p0, p1, p2, … pn – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.
Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков.
54. Числовые ряды.
Числовой ряд-символ, обозначаемый
Числа наз-ют членами этого ряда.
Суммы конечного числа членов этого ряда наз-ют частичными суммами или отрезками данного ряда.
Рассм. послед-сть . Если сущ-ет , то ряд наз-ют сходящимся, число –суммой этого ряда. Если послед-сть не имеет предела, то ряд расходящийся.
Пр. , ,
след-но данный числовой ряд сходится и его сумма =0.
Св-ва числовых рядов:1)если из членов ряда отбросить первых членов, то получим ряд , к-рый наз-тся –ным остатком. Остаток данного ряда сходится и расходится одновременно с исходным рядом. Это означает, что при исследовании сходимости ряда можно отбрасывать конечное число первых членов.
2)(необходимый признак сходимости). Общий член сходящегося ряда , т.е. , что не явл. достаточным признаком.
3)если ряд сходится и его сумма = , то ряд также сходится, и его сумма =
4)если 2 числовых ряда и сходятся, тогда ряд