- •1.Матрицы и действия над ними.
- •3.Обратная матрица.
- •4 Ранг матрицы.
- •5.Системы линейных уравнений.
- •6. Системы линейных уравнений, метод обратной матрицы и метод Крамера
- •7.Системы линейных уравнений, метод Гаусса
- •8. Системы линейных однородных уравнений, фундаментальная система решений
- •11. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, расстояние от точки до прямой
- •14. Уравнение плоскости и прямой в пространстве
- •15. Функция и её основные свойства
- •16. Элементарная функция, классификация функций
- •17. Предел числовой последовательности
- •18. Предел функции в бесконечности и в точке
- •19. Бесконечно малые величины
- •20.Бесконечно большие величины
- •21. Основные теоремы о пределах ф-ии.
- •22. Замечательные пределы.
- •23. Понятие непрерывности ф-и.
- •24. Определение производной, зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •25. Схема вычисления производной, основные правила дифференцирования
- •26.Производная сложной функции. Производная обратных функций.
- •27. Производные основных элементарных функций, производные высших порядков.
- •28. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •29. Правило Лопиталя.
- •30. Возрастание и убывание функций.
- •31. Точки экстремума.
- •32.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •33. Выпуклость и вогнутость кривой.
- •34. Асимптоты.
- •35. Схема исследования функций
- •37. Первообразная функция. Неопределенный интеграл.
- •38. Неопределенный интеграл и его св-ва.
- •45. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определённом интеграле
- •47. Несобственные интегралы.
- •49. Дифференциальные уравнения, неполные дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •50. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •51. Линейные ду 1 порядка.
- •52. Ду второго порядка
- •53. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •54. Числовые ряды.
- •55. Необходимый признак сходимости гармонический ряд
- •58. Область сходимости степенного ряда
- •59.Ряд маклорена:
- •61. Функции нескольких переменных
- •65.Эмпирические формулы, метод наименьших квадратов
- •63. Экстремум функции нескольких переменных.
- •64. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа
49. Дифференциальные уравнения, неполные дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
ДУ-ем наз-ся ур-ие связывающее ф-ию одной или нескольких переменных с её производными различных порядков. G(x,y,y’,y’’)=0. Если ф-ия от одной переменной,то это обыкновенное ДУ. Если от нескольких-частное ДУ. Порядком ДУ наз-ся порядок старших производных. (порядок =3,т.к. самая большая производная).
ДУ n-го порядка наз-ся разрешимым относ-но старшей производной,если оно м.б. записано так: и реш-ем этого ур-ия будет такая ф-ия y=y(x), при подстановки которой ур-ие обратится в тождество при любых х.
Теорема. Если в ДУ y’=f(x;y) ф-ия f и её производная f’y непрерывны на некотором множ-ве, тогда всегда найдётся реш-е ДУ y=y(x),удовлетворяющее начальному ус-ию и такое реш-е единственное.
Неполное ДУ 1го порядка.
y’=f(x) или y’=f(y)
1)если y’=f(x) , тогда ур-ие записываем dy=f(x)dx и интегрируем его: y=
2)если y’=f(y), тогда реш-е запис. в виде x=x(y), т.е. мы б.считать, что х-это ф-ия, а у-переменная, тогда ур-ие записывается: =f(y), , интегрируем x=
ДУ с разделяющимися переменными
, , интегрируем
y’=f(ax+by), где a и b-это числа, можно привести к ур-ию с разделяющимися переменными с помощью замены z=a+by’, y’=
50. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Ф-я f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:
ДУ вида наз-ся однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.
Любое уравнение вида является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.
Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.
Рассмотрим однородное уравнение Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать: Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что . Получаем:
Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента , т.е.
Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде: . Далее заменяем y = ux, .
таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.
Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.
51. Линейные ду 1 порядка.
Дифференциальным уравнением наз соотношение, связывающее независ переменную x, искомую ф-ию y=f(x) и её производную.
Если искомая функция есть ф-ия одной независимой переменной, то ДУ наз обыкновенным, порядок старшей производной , входящей в ДУ, наз порядком данного ур-я.
Общий вид ДУ n-го порядка: (1)
Ф-ия y=f(x), кот-я при подстановке в ур-е (1) обращает этоур-е в тождество, наз-ся решением этого ур-я.
ДУ 1-го порядка имеет вид: F(x,y,y’)=0 (2) или y’=f(x,y)(3) в случае, если y’ можно выразить относительно x и y
Реш-е ур-я (3) наз-ся общим реш-ем этого ур-я.
Реш-е может получаться в неявной форме Ф(x,y,c)=0 – наз общим интегралом.
Реш-е, кот получается из общего при некотором фиксированном значении С наз частным решением. Условия, что при x=x0 ф-ия y=y0 наз начальным условием, кот-е позволяет из общего реш-я выделить частное.
Ур-я с разделяющимися переменными.
Ур-е вида наз ур-ем с разделяющимися переменными. Это ур-е можно записать в виде:
, домножим на :
Вычислим:
Однородные ДУ
Ф-ия f(x,y) наз однородной измерения М если имеет место тождество f(xt,yt)=tm(x,y)
f(x,y) = x2-3xy+2y2
f(tx,ty)=(tx)2-3(tx)(ty)+2(ty)2=t2(x2-3xy+2y2)=t2f(x,y) – однородная ф-ия измерения t.
Ур-е M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 наз однородным ДУ 1-го порядка, если ф-ии M и N однородные ф-ии одного и того же измерения.
С помощью подстановки y=ux, где u – искомая ф-ия, зависящая от x, ур-е сводится к ур-ю с разделяющимися переменными.