Билет 9:
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость. Пусть требуется найти расстояние от точки K до плоскости s (АВС).
О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ.
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.
И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Билет 10:
Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Пусть плоскость задана уравнением , а прямая - . Из геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол a = 90° - j, где a - угол между векторами и .
Билет 11: Декартовы координаты вектора в пространстве Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат),
точка их пересечения O – началом координат,
а плоскости xOy, xOz и yOz – координатными плоскостями.
Точка O разбивает каждую координатную ось на две полупрямые, которые называются положительной и отрицательной полуосями.
Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси.
Единичный вектор, направленный вдоль оси x, обозначается i.
Единичный вектор, направленный вдоль оси y, обозначается j.
Единичный вектор, направленный вдоль оси z, обозначается k.
Вектора i, j, k называются координатными векторами.
Любой вектор a можно разложить по координатным векторам: a=xi+yj+zk.
Коэффициенты разложения определяются единственным образом и называются координатами вектора a в данной системе координат.
Билет 12:
Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат),
точка их пересечения O – началом координат,
а плоскости xOy, xOz и yOz – координатными плоскостями.
Точка O разбивает каждую координатную ось на две полупрямые, которые называются положительной и отрицательной полуосями.
Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси.
Единичный вектор, направленный вдоль оси x, обозначается i.
Единичный вектор, направленный вдоль оси y, обозначается j.
Единичный вектор, направленный вдоль оси z, обозначается k.
Вектора i, j, k называются координатными векторами.
Любой вектор a можно разложить по координатным векторам: a=xi+yj+zk.
Коэффициенты разложения определяются единственным образом и называются координатами вектора a в данной системе координат.
Билет 13
Векторы в пространстве:
Любая
точка пространства- это нулевой вектор,
его длина равна нулю. Длиной вектора
называется длина отрезка. Два не нулевых
называются коллинеарными, если они
лежат на одной прямой или на параллельных
прямых. Два вектора
коллинеарные, значит лучи AB
и CD
со направлены. Если векторы не коллинеарные,
то лучи не со направлены, то векторы
противоположно направлены. От любой
точки пространства можно отложить
вектор равный данному и при том только
один. Сумма векторов зависит от выбора
точки пространства. Для любых векторов
и
и чисел K
и L,
выполняются законы:
)
Векторы
называются компланарными, если при
откладывании их от 1-ой точки они будут
лежать в 1-ой плоскости. Любой вектор
можно проложить как
,
где х и у единичные отрезки оси Ох и Оу.
Если векторы
коллинеарны, а векторы
и
не коллинеарнв, то вектор
можно разложиь по векторам
и
,
причём коэффициенты определяются ед.
образом.
Теорема:
Любой вектор можно разложить по 3-ём данным не коллинеарным векторам, причём коэффициенты расположения определяются ед. способом.