11 Диаметры кривой второго порядка
Докажем сначала одну полезную лемму о координатах середины хорды.
Лемма
11.1. Дан
вектор
неасимптотического
направления относительно кривой второго
порядка, заданной уравнением
.
Для того, чтобы точка
была
серединой какой-нибудь хорды, параллельной
вектору
,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
равенство
Доказательство. Запишем параметрические уравнения прямой , проходящей через точку и параллельной вектору :
Пусть
и
--
точки пересечения прямой
с
данной кривой, а
и
--
параметры этих точек. Тогда
Очевидно,
точка
является
серединой отрезка
тогда
и только тогда, когда
.
С другой стороны,
и
являются
корнями квадратного уравнения
предыдущего
раздела.
По теореме Виета сумма корней
этого уравнения равна нулю тогда и
только тогда, когда
Лемма доказана.
ТЕОРЕМА 11.1. Геометрическим местом середин хорд линии второго порядка, параллельных вектору неасимптотического направления, является прямая линия; эта прямая линия называется диаметром данной линии, сопряженным рассматриваемым хордам. Если линия второго порядка задана относительно аффинной системы координат общим уравнением , а ее хорды параллельны ненулевому вектору (неасимптотического направления), то уравнение диаметра, сопряженного этим хордам, имеет вид
Доказательство. Пусть кривая второго порядка задана уравнением . Возьмем какой-нибудь вектор неасимптотического направления относительно кривой второго порядка и рассмотрим множество точек плоскости, состоящее из середин всех хорд данного направления. По Лемме о координатах середины хорды произвольная точка принадлежит данному множеству тогда и только тогда, когда
Распишем это равенство более подробно
Это и есть уравнение множества середин хорд данного направления. Его можно записать так:
Так
как вектор
не
является вектором асимптотического
направления, то
.
Отсюда следует, что коэффициенты
при
и
в
последнем уравнении не равны нулю
одновременно, следовательно, множество
середин всех хорд данного направления
есть прямая. Теорема доказана.
Рассмотрим некоторые свойства диаметров кривой второго порядка. 1. Если кривая второго порядка имеет центры, то каждый центр лежит на любом диаметре.
Доказательство.
Пусть
--
центр кривой второго порядка, а
--
произвольный диаметр, заданный
уравнением
.
Как известно (смотри формулы
),
координаты центра кривой удовлетворяют
равенствам
.
А это означает, что координаты центра
удовлетворяют уравнению диаметра.
Что
и требовалось доказать.
Отсюда следует интересный вывод: если кривая второго порядка имеет более одного центра, то она имеет один и только один диаметр.
2. Если линия второго порядка имеет единственный центр, то любая прямая неасимптотического направления, проходящая через ее центр, является диаметром этой линии.
Доказательство.
Если линия, заданная общим уравнением
,
имеет единственный центр, то
прямые
и
пересекаются
в ее центре, но в таком случае уравнение
любой прямой
,
проходящей через центр линии можно
записать в виде
(уравнение
собственного пучка прямых с центром в
центре кривой), где хотя бы одно из
чисел
или
не
равно
.
Значит
прямая
является
диаметром линии, сопряженным хордам,
параллельным вектору
,
если этот вектор неасимптотического
направления. Но из неасимптотичности
направления прямой
вытекает
неасимптотичность сопряженного ей
направления. Следовательно, прямая
является
диаметром.
Что и требовалось доказать.
3. Если линия второго порядка является линией параболического типа, то диаметр, сопряженный хордам линии, параллельным неасимптотическому направлению, имеет асимптотическое направление.
Доказательство.
Из уравнения
следует,
что вектор
,
коллинеарный диаметру, сопряженному
хордам неасимптотического направления
имеет
координаты
Отсюда в силу находим
Значит,
или
Что и требовалось доказать.