7 Инварианты кривой второго порядка

Определение 7.1. Инвариантами кривой второго порядка называются функции от коэффициентов общего уравнения кривой, значения которых не изменяются при преобразовании декартовой системы координат. Рассмотрим снова общее уравнение кривой второго порядка   Введем следующие обозначения: Тогда нетрудно проверить, что  . ТЕОРЕМА 7.1.Следующие функции от коэффициентов общего уравнения кривой являются инвариантами кривой второго порядка: Доказательство. Инвариантность данных функций можно провести отдельно для параллельного переноса и поворота простым подсчетом. Проведем его для параллельного переноса. Согласно формулам  , имеем   и . Далее Умножим первую строку на   , вторую - на   и прибавим к третьей, а затем в полученном определители, выполняем аналогичные преобразования со столбцами. От этого как известно определитель не изменится. Получим Таким образом, доказана инвариантность относительно параллельного переноса. Проведем доказательство инвариантности данных функций относительно поворота.Используя первое и третье из равенств  получаем Далее используя формулы  , получим Что и требовалось доказать. Докажем еще одну ТЕОРЕМА 7.2. Функция является инвариантом поворота; если же функция после поворота может быть приведена к виду то   является инвариантом параллельного переноса. Доказательство. Рассмотрим семейство кривых второго порядка Выполняя поворот на угол   (См. формулы  ), получим семейство кривых второго порядка так как,очевидно,  . Используем доказанную инвариантность функции  по отношению к кривой, соответствующей параметру  , получим Приравнивая коэффициенты при   в первой степени в левой и правой частях этого равенства, получим требуемое. Этим доказана первая часть теоремы. Перейдем к доказательству второй части. Пусть после выполнения поворота уравнение кривой принимает вид . Выполним теперь параллельный перенос:  . Функция   перейдет в функцию Подсчитаем   для   и  . Получаем Что и требовалось доказать.

8 Отыскание канонических уравнений по инвариантам.

ТЕОРЕМА 8.1. Для того чтобы линия второго порядка, заданная общим уравнением относительно декартовой системы координат, относилась к первой группе, необходимо и достаточно, чтобы   , ко второй: ---  , к третьей : ---  . Доказательство. Необходимость. 1. Предположим, что линия второго порядка принадлежит к первой группе, т. е. ее общее уравнение  , заданное относительно декартовой системы координат, преобразованием этой декартовой системы в декартову систему координат может быть приведено к виду:  , В таком случае  2. Предположим, что линия второго порядка принадлежит ко второй группе, т. е. ее общее уравнение  , заданное относительно декартовой системы координат, преобразованием этой декартовой системы в декартову систему координат может быть приведено к виду:   В этом случае, 3. Предположим, что линия второго порядка принадлежит к третьей группе, т. е. ее общее уравнение  , заданное относительно декартовой системы координат, преобразованием этой декартовой системы в декартову систему координат может быть приведено к виду:   . Тогда , Доказательство достаточности. Предположим, что  . Требуется доказать, что линия второго порядка принадлежит к первой группе. Предположим, что это не так, то есть линия является линией второй или третьей группы; тогда в силу доказанной необходимости получаем, что  . Противоречие. Аналогично в оставшихся случаях. ТЕОРЕМА 8.2. Если линия второго порядка задана общим уравнением относительно декартовой системы координат, то ее простейшие уравнения имеют вид       соответственно тому, является ли эта линия линией первой, второй или третьей группы, причем   и   --- корни уравнения  называемого характеристическим. Доказательство. Докажем сначала, что характеристическое уравнение всегда имеет два действительных корня. Для этого, очевидно, надо доказать, что его дискриминант неотрицателен. В самом деле, 1. Пусть линия принадлежит к первой группе; тогда ее простейшее уравнение имеет вид    Так как  , то   и   - корни   и   уравнения  . Далее находим , и следовательно ,  . 2. Пусть линия принадлежит ко второй группе; тогда ее простейшее уравнение имеет вид   Получаем ,  , значит ,  3. Предположим, что линия второго порядка принадлежит к третьей группе; тогда ее простейшее уравнение имеет вид   Следовательно,  . Но так как для линий третьей группы   является полным инвариантом, то . Отсюда получаем, что  . ТЕОРЕМА 8.3. В следующей таблице даны необходимые и достаточные признаки каждого из девяти классов линии второго порядка:

Название линии	Признак
Эллипс
Мнимый эллипс
Пара мнимых пересекающихся прямых
Гипербола
Пара пересекающихся прямых
Парабола
Пара различных действительных параллельных прямых
Пара различных мнимых параллельных прямых
Пара совпавших действительных параллельных прямых

Доказательство достаточности. 1. Если  , то корни   и   характеристического уравнения   имеют одинаковый знак, так как  . Поскольку   и  , то знак   одинаков со знаком   и  , а   имеет знак, им противоположный. Отсюда следует, что простейшее уравнение   приводится к виду где   и  . Поэтому это уравнение определяет эллипс с полуосями   и  . 2. Если  , то   и   имеет одинаковый знак. Значит простейшее уравнение   приводится к виду где   и  . Поэтому это уравнение определяет мнимый эллипс. 3. Если  , то простейшее уравнение принимает вид , причем   и   имеют одинаковый знак. Отсюда следует, что последнее уравнение можно переписать в виде Обозначая через  , получаем уравнение пары мнимых пересекающихся прямых. 4. Если   , то корни   и   разных знаков. Обозначим через   тот из корней характеристического уравнения, который имеет знак, совпадающий со знаком  , и перепишем простейшее уравнение так: где   и  . Полагая здесь   и  , получаем каноническое уравнение гиперболы. 5. Если  , то простейшее уравнение принимает вид  . Здесь   и   имеют разные знаки. Считая  , перепишем это уравнение в виде Обозначая через  , получаем уравнение пары пересекающихся прямых. 6. Если  , в простейшем уравнении   выбираем знак перед корнем, противоположным знаку   и, обозначая  , получаем каноническое уравнение параболы  . 7-9. Если  , то простейшее уравнение имеет вид   или  . Отсюда следует, что если  , то это уравнение является уравнением двух параллельных прямых, если  , то уравнением двух мнимых параллельных прямых, а если  , то уравнением двух совпавших прямых. Достаточность всех признаков доказана. Необходимость доказывается методом от противного. Следствие 8.1. Для того чтобы линия второго порядка, заданная общим уравнением ( ) распадалась на две прямые, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство