6.Билет

Лине́йным отображе́нием векторного пространства   над полем   в векторное пространство   (лине́йным опера́тором из   в  ) над тем же полем   называется отображение

,

удовлетворяющее условию линейности

,

.

для всех   и  .

Связанные понятия

• Образом подмножества^[1]   относительно линейного отображения A называется множество  .

• Ядром линейного отображения   называются подмножество  , которое отображается в нуль:

Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве  .

• Образом линейного отображения   называется следующее подмножество  :

Образ линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве  .

• Отображение   прямого произведения линейных пространств   и   в линейное пространство   называется билинейным, если оно линейно по обоим своим аргументам. Отображение прямого произведения большего числа линейных пространств   называется полилинейным, если оно линейно по всем своим аргументам.

• Оператор   называется линейным неоднородным (или афинным), если он имеет вид

где   — линейный оператор, а   — вектор.

• Пусть  . Подпространство   называется инвариантным относительно линейного отображения, если  ^[2].

Критерий инвариантности. Пусть   — подпространство,такое что   разлагается в прямую сумму:  . Тогда   инвариантно относительно линейного отображения   тогда и только тогда, когда  , где   - проектор на подпространство  .

• Фактор-операторы^[3]. Пусть   — линейный оператор и пусть   — некоторое инвариантное относительно этого оператора подпространство. Образуем фактор-пространство   по подпространству  . Тогда фактор-оператором называется оператор   действующий на   по правилу:  , где   — класс из фактор-пространства, содержащий  .

7.Билет

Определение 1. Пусть   и   — конечномерные векторные пространства над полем   с базисами   и   соответственно. Рассмотрим линейное отображение  . Тогда   можно представить в виде   для некоторых  . Матрица   называется матрицей линейного отображения¹⁾   в базисах   и  . Столбцами этой матрицы являются координаты векторов   в базисе  .

Пусть произвольный вектор   имеет следующие координаты в разложении по базису  ,  , тогда его образ   из пространства   в базисе   имеет разложение  , где  . То есть .

Пусть линейный оператор   действует в сепарабельном гильбертовом пространстве. Каждый элемент пространства может быть представлен в координатах в некотором ортонормированном базисе { } как  , причем из ортнонормированности базиса следует, что  . Тогда вектор   можно разложить в том же базисе с коэффициентами  , где  . Таким образом, в координатном представлении  , где   - координатное представление вектора  , а  -координатное представление вектора  , соответственно   { }-матрица оператора в данном базисе.

Таким образом, каждому линейному оператору гильбертова пространства соответствует некоторая матрица в данном базисе.

8.Билет

 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 

     Ненулевой вектор   называется собственным вектором линейного оператора  , если   (  для комплексного  ), такое, что   Число   называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору.

     Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор   имеет координатный столбец X, то   или 

     Собственные числа   линейного оператора   - корни характеристического уравнения  , где   - матрица оператора f,   - символ Кронекера.

     Для каждого собственного значения   соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения   или соответствующей ему системы линейных уравнений

     Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где   - соответствующие собственные значения.