[Править]Свойства подпространств
Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство. Сумма подпространств определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов :
.
В функциональном анализе в бесконечномерных пространствах особо выделяют замкнутые подпространства.
Базис. Размерность
Конечная сумма вида
называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами .
Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
Элементы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому элементу . В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
Бесконечное подмножество векторов из называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:
Любые линейно независимых элементов -мерного пространства образуют базис этого пространства.
Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
.
[править]Линейная оболочка
Линейная оболочка подмножества линейного пространства — пересечение всех подпространств , содержащих .
Линейная оболочка является подпространством .
Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным . Говорят также, что линейная оболочка натянута на множество .
Линейная оболочка состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из . В частности, если — конечное множество, то состоит из всех линейных комбинаций элементов .
Если — линейно независимое множество, то оно является базисом и тем самым определяет его размерность.
.Билет
Говорят, что линейное пространство есть прямая сумма своих подпространств :
если каждый вектор представляется в виде суммы
и притом единственным образом.
Комментарий
Последнее условие («единственным образом») весьма существенно, без него получается просто определение суммы подпространств (обозначается ). Из определения линейного пространства следует, что условие единственности разложения (*)для каждого вектора равносильно условию единственности разложения (*) только для нулевого вектора (для в сумме (*) все слагаемые ).
Критерии прямой суммы
Каждый вектор раскладывается в сумму (*), причём (Если конечномерно)
Любая система из ненулевых векторов, принадлежащих различным подпространствам, линейно независима.
Пересечение каждого из подпространств с суммой остальных есть нулевое пространство (пространство, состоящее только из нулевого вектора).
Если линейное пространство обладает базисом, то объединение базисов подпространств ) есть базис в .
Каждый элемент гильбертова пространства может быть представлен в виде (*), причём если число подпространств бесконечно, то — сходящийся ряд.
Пусть гильбертово пространство разлагается в прямую сумму , тогда сопряженное пространство также распадается в прямую сумму , причём и .