Распределение Гиббса. Канонический и большой канонический ансамбль.

Если какая-либо система замкнута, то, в конце концов, она перейдет в состояние термодинамического равновесия. Пока не будем делить систему на подсистемы, полный гамильтониан системы обозначим через .

З атем для состояния термодинамического равновесия получим матрицу плотности. Покажем основное положение, из которого выводится распределение. Мысленно систему мы можем разделить на подсистемы с , ,…, .

Энергия каждой подсистемы существенно превосходит энергию взаимодействия между этими подсистемами. Из этой особенности вытекает гипотеза о статистической независимости:

(например, для системы, состоящей из двух подсистем).

Из предположения о статистической независимости и стационарности следует:

И этого достаточно, чтобы записать распределение Гиббса:

(для того, чтобы выполнялось ) ,

(нормировочное условие) ,

– распределение Гиббса,

где F – свободная энергия.

Теперь обобщим распределение на случай, когда вместо зависимости от энергии есть зависимость от какого-то другого интеграла движения. Пусть матрица плотности зависит от числа частиц:

.

Тогда:

В этом случае распределение зависит от T и так называемого химического потенциала μ. Если изменить число частиц в системе, то произойдет нарушение термодинамического равновесия. После того, как система придет в состояние термодинамического равновесия, ее энергия изменится. Разность энергий системы до и после изменения называется химическим потенциалом.

Рассмотрим систему идеальных частиц (например, идеальный ферми газ), находящуюся в состоянии термодинамического равновесия. Попробуем использовать распределение Гиббса для понимания особенностей этой физической системы. Представим себе простую ситуацию. В некотором объеме имеется определенное число ферми частиц (например, электронов). Попробуем найти состояние термодинамического равновесия для этой системы. Состояние каждой частицы в пространстве задается импульсом и спином:

Будем считать, что частицы тождественные, то есть в одном квантовом состоянии может

находиться не более одной частицы:

.

Запишем системы ферми частиц:

.

Введем также оператор :

.

Теперь запишем распределение Гиббса для этой системы:

Вычислим среднее число частиц , находящихся в некотором особом состоянии :

( содержит только избранные состояния) ,

– распределение Ферми-Дирака

Лекция 01.04.2009.

Рассмотрим предельные случаи температур

- распределение Ферми-Дирака для идеального ферми-газа

Можно считать заданными или N(число частиц), или

- основное состояние ферми-системы

Все состояния - заняты, состояния свободны

- энергия Ферми

, - предельное значение импульса, когда состояние еще занято – импульс Ферми. Он должен быть связан с числом ферми-частиц в этом состоянии.

Сфера в импульсном пространстве – это поверхность Ферми.

- с учетом спина

Минимальный объем в фазовом пространстве импульсов и координат равен

V - полный фазовый объем

При нагревании часть частиц переходит в возбужденное состояние и выходит за поверхность Ферми

При этом частицы находятся в тонком слое вблизи нее

Пусть

- закон дисперсии для частицы, - ее скорость на поверхности Ферми

После перехода частицы на ее месте образуется «дырка» (античастица)

Пусть

- квант возбуждает такое состояние

Система сильно взаимодействующих ферми-частиц ведет себя подобно ферми-газу, это есть ферми-жидкость (это сильное взаимодействие).

Если медленно включаем взаимодействие, то основное состояние ферми-газа переходит в основное состояние ферми-жидкости.

Распределение Ферми-Дирака для идеального газа переходит в распределение ферми-частиц

, где - эффективная масса

У частицы ферми-газа при отсутствии взаимодействия большое время жизни. Если включается взаимодействие, то могу быть столкновения

При этом внутри слоя все состояния заняты, частицы могу оказаться только вне слоя

объему слоя - для отдельной частицы

- вероятность перехода определяется «золотым правилом Ферми»

- оценим время жизни

- энергия определена с большой точностью (для нормальных ферми-жидкостей)

Отсюда следует, что для удельного сопротивления получается следующая зависимость

, где второе слагаемое описывает взаимодействие с фононами

Зависимость от

Та же зависимость при учете явления сверхпроводимости

Лекция 06.04.2009.

Если у нас есть система сильновзаимодействующих ферми-частиц, то она описывается как ферми-жидкость. (?) Основное состояние ферми-жидкости совпадает с основным состоянием ферми-газа (?). Физически это означает: в силу статистики Ферми-Дирака включение взаимодействия не влияет на распределение. И частица не может быть в свободном состоянии в силу закона сохранения энергии (?). Запишем функцию распределения для статистики Ферми-Дирака:

Это распределение справедливо и для ферми-жидкости, в случае, если температура достаточно маленькая. Далее, , p>p₀, а включение взаимодействие приведёт к замене m на так называемую эффективную массу: , p<p₀.

Принципиальное отличие(?): такая квазичастица должна жить конечное время.

(т.е. сферический слой для одной частицы).

Очевидно, характерная энергия: , это следует из соотношения неопределённости

Тогда:

Качественно построим энергетический спектр электрона и электронов в кристалле:

Электроны – это ферми-частицы. Сколько состояний находится в первой энергетической зоне? Определим число значений k:

В силу наличия у электронов двух возможных значений спина, получаем:

Согласно идее, заполнятся все состояния до состояния, определяемого предельной энергией Ферми.

Итак, возьмём кристалл, в элементарной ячейке может быть чётное или нечётное число состояний. Может быть случай, когда половина состояний занята, половина свободна. Если число на одну ячейку нечётное, то будет не полностью заполненная зона. А может быть случай такой: есть полностью заполненная зона и дальше идёт свободная зона. В этом случае электроны не могут перераспределяться между состояниями в случае слабых полей – получим полупроводник или диэлектрик.

Электроны – заряженные частицы, обозначим среднее расстояние между ними a. Кулоновское взаимодействие сильное. Есть эффект т.н. дебаевского экранирования. Характерный потенциал: , оказывается, (?)

Единственная возможность (?):

(?)

Такой процесс гарантирует притяжение между электронами(?).

И тогда характерная длина и предельный импульс связаны соотношением:

Две ферми-частицы могут объединиться в свободное состояние с целым спином, это куперовская пара, которая является бозе-частицей, которая подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна. Им выгодно находиться в одном и том же состоянии (?).

Гамильтониан … (?):

Химический потенциал μ ≠ 0

Далее пишем, с учётом нормировки (нормировка – в знаменателе):

Таким образом, мы получили, что тем больше частиц в данном состоянии, тем больше частиц стремится занять это состояние.

Пусть есть кристаллическая решётка, какова вероятность рассеяния на ней?

Колебания могут разрушить этот процесс.

Пусть на кристалл падает частица.

Основное состояние обозначение: (?)

Может быть упругое или неупругое рассеяние.

– передаваемый импульс (всему кристаллу).

Если k – вектор обратной решётки, то будет единственный ненулевой результат (?) и получим: , получили матричный элемент (?).

Если энергия рассеяния не изменилась, то

Таким образом, импульс, переданный при упругом рассеянии, равен вектору обратной решётки.

(?)

Изменение импульса определяется решёткой как единым целым (?).

Характеризует вероятность упругого процесса (?).

Многоэлектронные атомы и периодическая система Менделеева.

Так как электронов много, играет роль статистика Ферми-Дирака.

Выясним, какие физические величины сохраняются. Это замкнутая система и интегралами движения являются:

Не учли взаимодействия, связанное со спином электрона. Сохраняются независимо полный орбитальный и полный спиновый моменты, т.е. .

Спектр будет каким-то … (?), зависит от интегралов движения (?).

Возникла такая идея: т.к. частиц много, каждый электрон движется в поле ядра и других электронов, возьмём и усредним поле других электронов – это т.н. самосогласованное приближение.

Итак, каждый электрон движется в сферически-симметричном поле. Для электрона можем указать квантовые числа:

Задана электронная конфигурация.

Состояние может отличаться магнитным суммарным спином электронов (?).

Правила Хунда.

Если у электронов одинаковые спины, они не уберутся в один фазовый объём. А если разные, то уместятся. Т.о., кулоновское взаимодействие больше,когда суммарный спин равен 0.

I правило Хунда. … (?)

II. правило Хунда. Энергия тем больше, чем больше суммарный орбитальный момент (?).

Лекция 13.04.2009.

Для того, что бы понять сущность и особенность многоэлектронных систем в атомной физике, начнем с самого простейшего случая: двух электронного атома.