![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1)Полярная система
- •5)Кривые второго порядка
- •11)Размерность и базис линейного пространства, координаты вектора
- •14.Пусть плоскость q проходит через точку м0 (x0 ,y0 ,z0 ) перпендикулярно вектору
- •15) Угол между плоскостями
- •17)Матрицы
- •18)Определители
- •23)Решение системы линейных уравнений матричным методом
- •25) Теорема Кронекера – Капелли
- •28)Экономическая интерпретация числа е
- •29)Функции и отображения их области опред. И знач.
- •32) Односторонний предел
- •33)Бесконечно малые величины и их св-ва
- •34)Непрерывность функции в точке.
- •35)Непрерывность сложной функции и обратной функции.
- •37)Определение Производной
- •39)Производные основных элементарных функций.
- •40 Дифференциал функции.
- •41. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2)Теорема Ферма и Ролля.
- •44.Условия постоянства функции
- •45.Экстремумы функции
- •46.)Условие выпуклости и вогнутости функции. Точка перегиба.
- •47).Асимптоты.
- •48)Функ. Нескольких переменных
- •52)Первоообразная функции и неопределённый интеграл
- •53)Метод замены переменной
- •55)Интегрирование простейших рац. Дробей
- •56)Интегрирование рациональных дробей
- •57)Интегрирование тригонометрических функций
- •58)Определенный интеграл.
- •59.)Основные свойства определённого интеграла
- •61.)Применение определённого интеграла для вычисления площадей фигур, длин дуг плоских кривых и объёмов тел.
- •62.)Несобственные интегралы
- •66)Неоднородными дифференциальным урав. Второго порядка с постоянными коэффициентами наз. Уравнение вида , где p и q- постоянные, – функ., непрерывная на некотором множестве х.
- •68).Признаки сходимости рядов с положительными членами
66)Неоднородными дифференциальным урав. Второго порядка с постоянными коэффициентами наз. Уравнение вида , где p и q- постоянные, – функ., непрерывная на некотором множестве х.
Теорема
Пусть y*=
-некоторое
частное решение исходного неоднородного
уравнения, а
0
= C1
y
1 (x)
+ C
2 y
2 (x)-
общее решение соответствующего
однородного уравнения. Тогда уобщ
=у0
+у* -общее решение неоднородного урав..
Для нахождения частного решения у* можно использовать специальный вид правой части урав.
Будем искать частное решение неоднородного уравнения , используя «метод неопределённых коэффициентов» по след. правилам:
1)Если F(x)=P(x), где P(x)-многочлен степени n, то соответствующее частное решение ищется:
а)в виде у*= Q(x),где Q(x) -многочлен степени n с неопределёнными коэффициентами, если ноль не явл. корнем характеристического урав.;
б) в виде у*=ха Q(x),где Q(x) - многочлен степени n с неопределёнными коэффициентами , если нуль явл. корнем характеристического урав. кратности .
2)Если f(x)=P(x)emx ,то соответствующее частное решение находится:
а)в виде y*=Q(x)emx,где , где Q(x) - многочлен степени n с неопределёнными коэффициентами , если м не явл. корнем характеристического урав. .
б) в виде у*=ха Q(x) emx,где Q(x) - многочлен степени n с неопределёнными коэффициентами , если м явл. корнем характеристического урав. кратности .
3)Если
f(x)=eax
(M
,
где М и N
–const,
то у* находится :
а)
в виде у*= eax
(А
,где
А,В-постоянные,если числа
не явл.корнями характеристического уравн.
б) в виде у*= eax (А ,где А,В-постоянные,если числа
явл.корнями характеристического урав.
67)Числовым
рядом наз.выражение,
полученное последовательным сложением
членов числовой последовательности
т.е.
й
частичной
суммой ряда
наз.
Ряд
наз.сходящимся,
если сущ. конечный предел
явл.
суммой ряда; расходящимся,
если
Числа
—
члены ряда,
—
й
или общий член.
Простейшие свойства сходящихся рядов.
1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости какого-то остатка вытекает сходимость всего ряда.Изменение или выбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.
2.
Если ряд
сходится, то
.
3.
Если ряд
сходится, то сходится ряд
и имеет место равенство
.
4.
Если ряды
и
сходятся, то сходится и ряд
имеет место равенство
5.
Если ряд
сходится, то
.
Отсюда следует Признак
расходимости ряда.
Если
,
то ряд
расходится.
Необходимое условие сходимости ряда.
Если
ряд
сходится,
то
(при
)..
68).Признаки сходимости рядов с положительными членами
Пусть
дан ряд
все слагаемые кот. положительны
.
Признак
Коши.
Пусть
сущ.
.
Тогда если
,
то ряд
сходится;
Если
,
то ряд
расходится;
Если
,
то о сходимости или расходимости ряда
ничего сказать нельзя.
Признак
Даламбера.
Пусть
сущ.
.
Тогда если
,
то ряд
сходится;
Если
,
то ряд
расходится;
Если
,
то о сходимости или расходимости ряда
ничего сказать нельзя
69) Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, наз.знакопеременным.
Абсолютная и условная сходимость
Ряд
наз.абсолютно
сходящимся,
если ряд
также сходится. Если ряд
сходится абсолютно, то он явл. сходящимся
. Обратное утверждение неверно. Ряд
наз. условно
сходящимся,
если сам он сходится, а ряд, составленный
из модулей его членов, расходится.
70)Частным случаем знакопеременного ряда явл. знакочередующийся ряд, т.е. такой ряд, в кот. последовательные члены имеют противоположные знаки.
Признак Лейбница
Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница. Пусть {an} явл. числовой последовательностью, такой, что
1.an+1 < an для всех n;
2.
.
Тогда
знакочередующиеся ряды
и
сходятся.
71)Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:
в
кот. коэффициенты
берутся
из некоторого
.
Теорема Абеля:
Пусть
ряд
сходится
в точке
.
Тогда этот ряд сходится при всех x
так, что
.
Пусть
ряд
расходится
в точке
,
тогда он расходится при всех х так, что
Радиус сходимости:
Если
,
то ряд расходится, поскольку общий член
ряда
не
стремится к 0. И наоборот.
72)
73)Применение рядов к приближённым вычислениям |
Числовые и функциональные ряды широко применяются в приближённых вычислениях. Рассмотрим это на примерах. Пример1. Вычислить
Воспользуемся
разложением
Так как ряд знакочередующийся и 0,0008<0,001, то все слагаемые, начиная с 0,0008, отбрасываем и при этом погрешность не превосходит 0,001. |