28. Постановка задачи динамического программирования (дп). Рекуррентные уравнения Беллмана (обратное и прямое), метод Беллмана. Решить методом Беллмана задачу:

Для трёх предприятий выделяются средства в объёме bo (млн. руб.). Каждое предприятие представляет на рассмотрение проекты, которые характеризуются величинами суммарных затрат (С) (млн. руб.) и доходов (R) (млн. руб.), связанных с реализацией каждого из проектов. Соответствующие данные (Cj, Rj, j=1,2,3) приведены в таблице. Включение проектов с нулевыми затратами позволяет возможность отказа от расширения предприятия. Найти оптимальное распределение инвестиций, максимизирующее доход от инвестиций в объёме bo, bo = 8 млн. руб.

Проект	Предприятие 1		Предприятие 2		Предприятие 3
	C1	R1	C2	R2		C3	R3
1	3	5	3	4		0	0
2	4	6	4	5		2	3
3	-	-	5	8		3	5
4	-	-	-	-		6	9

Ответ:

Постановка задачи динамического программирования (ДП)

максимизировать                      (7.1.1)

при условиях           (7.1.2 )

Рекуррентные уравнения Беллмана (обратное и прямое), метод Беллмана.

Прямое уравнение Беллмана.

Обратное уравнение Беллмана.

при ограничениях

Решение задачи.

29. Определение оптимальных уровней запасов y* при вероятностном спросе и линейных функциях затрат.

Рассмотрим частный случай модели при вероятностном спросе, когда функции затрат ,  и  -линейные. В этом случае величину  можно определить аналитически.

Действительно,

 ,

тогда

 ,   (7.3.31)

Отсюда для нахождения оптимального уровня запасов получим уравнения

 ;                        (7.3.32)

где  - функция распределения случайного спроса.

В частности, для спроса,  распределенного по закону Рэлея,

 ,

имеем

 ,

отсюда

 .

Для показательного распределения спроса получим

 ,

откуда

 .

Рассмотрим случай дискретного распределения спроса :

     (7.3.33)

Соответственно

              (7.3.34)

Найдем приращение

. (7.3.35)

Д окажем существование и единственность оптимального решения , для чего исследуем знак приращения . При

 ,

а при

               .             (7.3.36)

Итак, монотонность функции  обеспечивает однократность смены знака приращения . Очевидно, выбор  должен производиться из условий:

 ,                 (7.3.37)

которые можно свести к системе неравенств:

 .                  (7.3.38)

Найдем расходы за период так же, как и в детерминированном случае (рис. 7.15):

а) при  средний положительный запас равен , а время его существования ;

б) при  получим средний положительный запас , средний дефицит , время существования запаса  и время существования дефицита .

Общие расходы в единицу времени составляют

.

30. Модель управления запасами при вероятностном спросе и мгновенных поставках.

Рассмотрим некоторые задачи управления запасами при вероятностном спросе. Простейшим случаем управления запасами является однократное принятие решений на пополнение запасов [І8]. Рассмотрим этот вариант.

I вариант. Рассмотрим модель управления запасами при вероятностном спросе и мгновенных поставках. Пусть  - запас продукта к началу операции;  - запас после пополнения ( ), а ( ) - случайный спрос за время операции ;  - плотность распределения спроса;  - расходы на пополнение запасов.

Предположим, что заказ на пополнение выполняется мгновенно. Если к концу операции на складе остается часть невостребованного запаса , то система снабжения несет расходы на сохранение избыточного запаса  (при , ). Наоборот, при неполном удовлетворении спроса ( ) система платит штраф за дефицит . Тогда математическое ожидание суммарных расходов системы за период равно

 .   (7.3.28)

Найдем, при каких значениях  величина  будет минимальной. Для этого определим

 ,     (7.3.29)

где , ,  - обозначены частные производные по соответствующим функциям ( в (7.3.29) учтено, что , и положим ).

В общем случае функция  при фиксированных  может иметь несколько минимумов.

Обозначим через  абсциссу абсолютного минимума , а через , ,  точки следующих относительных минимумов, причем пусть < < < .< (рис. 7.12). Пусть далее  , , - точки,  удовлетворяющие таким условиям: < < < <.; = ,

= и т.д.

Тогда оптимальная стратегия управления запасами будет такой [18; 49]:

п ри  заказывать ;

при  ничего не заказывать;

при  заказывать  и т.д.

Приведем достаточные условия, при которых оптимальная стратегия имеет более простую форму, отвечающую одному минимуму функции  [49]:

a) - не является относительным минимумом и

 ;

в) уравнение  имеет не более одного вещественного корня;

c) → ∞ при → ∞.

Поясним физический смысл условий: а) экономическая целесообразность создания положительного запаса; с) неэффективность слишком больших запасов.

О бозначим через  решение уравнения  (рис. 7.13). Тогда оптимальная стратегия единственная и будет следующей:

при  заказывать (делать заказа на поставку) ;

при  ничего не заказывать.

ІІ вариант. Допустим, что стоимость пополнения запасов равна  при  и нулю при . Как видим, в этом случае в сравнении с вариантом І появился дополнительный член  (фиксированная плата за заказ). В этом случае заказ целесообразно делать лишь при условии

                                      .                      (7.3.30)

Е сли уравнение (7.3.30) имеет единственное решение , то оптимальная стратегия, как видно из рис. 7.14, имеет вид [49]:

при  заказывать ;

при  ничего не заказывать.

В литературе эта стратегия называется 'стратегией двух уровней' или (S,s)-стратегией [49].