20. Обоснование решения транспортной задачи (тз) методом потенциалов. Проиллюстрировать метод на примере тз:

18	10	5	23
-	-	4	18
3	5	2	29
15	28	20	bj\ai

Ответ:

Метод потенциалов.

Для транспортной задачи (ТЗ), как и для любой ЗЛП, существует двойственная к ней задача.

Исходная задача

(4.7)

(4.6)

(4.9)

(4.8)

Обозначим двойственные переменные для каждого ограничения вида (4.7)

через Ui (i=1,...,m) и вида (4.8)- Vj (j=1,...,n), тогда двойственная задача имеет вид

(4.11)

( 4.10)

Переменные задачи двойственной к транспортнoй Ui и Vj называют потенциалами.

Т еорема 4.3. Для оптимальности плана X=(Xij)mn ТЗ необходимо и достаточно существования чисел (потенциалов) V1, V2, ... , Vn и U1, U2, ... , Um таких, что

1 ) для i=1,...,m , j=1,...,n ,

2) , если >0

Из теоремы следует: для того чтобы опорный план был оптимальным, необходимо выполнение следующих условий:

а) для каждой занятой клетки (отличного от нуля элемента матрицы Х) сумма потенциалов должна быть равна стоимости перевозки единицы груза

U_i + V_j = C_ij (4.12)

б) для каждой незанятой клетки (Xij=0) сумма потенциалов должна быть меньше или равна стоимости перевозки единицы груза

(4.13)

Таким образом, для проверки плана на оптимальность необходимо сначала построить систему потенциалов. Для построения системы потенциалов используем условие

U_i + V_j = C_ij , x_ij > 0

Систему потенциалов можно построить только для невырожденного опорного плана. Такой план содержит m+n-1 занятых клеток, поэтому для него можно составить систему из m+n-1 линейно-независимых уравнений вида (4.12) с неизвестными Ui и Vj . Уравнений на одно меньше, чем переменных, поэтому система является неопределенной и одному неизвестному придают нулевое значение. После этого остальные потенциалы определяются однозначно.

21. Применение метода ветвей и границ для решения задачи коммивояжера. Приведение матрицы издержек. Нижняя оценка издержек. Верхняя граница издержек для оптимальных гамильтоновых циклов. Восстановление матрицы издержек для любого подмножества гамильтоновых циклов.

Проиллюстрировать изложение на примере задачи с матрицей издержек

С =

Ответ:

Приведение матрицы издержек.

Пусть (Т) – нижняя граница функции цели на множестве Т, для любого t T

z(t) >= (Т).

Для вычисления (Т) введём операцию приведения матрицы С(Т).

Процесс вычитания наименьшего элемента строки (столбца) матрицы из всех её (его) элементов называется приведением строки (столбца) матрицы, а сам наименьший элемент - константой приведения строки (столбца) матрицы.

Если матрицу привести последовательно по строкам и столбцам, то в результате получим новую матрицу с неотрицательными элементами и по крайней мере одним нулевым элементом в каждой строке и каждом столбце. Такая матрица называется приведённой

(редуцированной).

Нижняя оценка издержек.

Пусть H(T) - суммарная константа приведения матрицы С(Т) по строкам и столбцам, а С(Т) –приведённая матрица С(Т). Имеем

(7)

г де z(t) – издержки любого цикла t T по матрице С(Т), а – издержки того же цикла по приведённой матрице С(Т).

Т.к. в соотношении (7) , то z(t)  H(T)

Следовательно, в качестве нижней оценки (Т) издержек любого цикла t на множестве Т можно взять суммарную константу приведения H(T) матрицы С(Т).

(Т) = H(T).

Н ижняя граница издержек ( ) для множества определится по формуле

 ( ) = (X) + h( )

В ерхняя граница издержек для оптимальных гамильтоновых циклов.

О бозначим через верхнюю границу оптимального значения функции цели z(t) на множестве Т, т.е. , где t* - оптимальный гамильтонов цикл (маршрут).

О пределить можно, отыскав какой-либо маршрут коммивояжёра и подсчитав его издержки. Для нашего примера допустимым является следующий гамильтонов цикл

Е го издержки: = 10 + 10 + 20 + 15 + 10 = 65.

С ледовательно, = 65, а сам цикл следует запомнить.

Если указать конкретный маршрут трудно, то полагают = 

Восстановление матрицы издержек для любого подмножества гамильтоновых циклов.

Пусть Х –любая вершина дерева , соответствующего процессу решения

з адачи о коммивояжере методом ветвей и границ, c набором фиксированных дуг

- 1. Вычёркиваем в матрице С(Т) все фиксированные строки , и фиксированные столбцы .

- 2. Для каждой фиксированной дуги составляем связный путь из ранее фиксированных дуг, включающий в себя и данную дугу , и полагаем в матрице С(Т), где m и p соответственно конец и начало связного пути.

-3. Для каждой запрещённой для множества Х дуги (i,j) полагаем в матрице С(Т), в результате получаем матрицу С(Х).

-4. Приводим матрицу С(Х), получаем искомую матрицу С(Х). Обозначим суммарную константу приведения С(Х) через H(X).

- 5. Нижняя граница издержек для множества Х определится по формуле

Решение задачи.