21. Эффективная нумерация машин Тьюринга. Язык диагонализации и универсальный язык. Эффективная нумерация машин Тьюринга
Q= – алфавит состояний. A=
(обозн.) a0
a1
a2
ai
k+1 i
Машину можем закодировать словом, имеющим максимально 4 различных символа: x=
Т(i, j) : qi aj qk am x
– слово
i+1 j k+1 m
Каждая команда кодируется словом вида:
qi+1 1j qk+1 1m x /
Любую машину Тьюринга мы можем закодировать таким словом, которое состоит из конечного числа символов.
Выбираем все слова, состоящие из 1-го символа и номеруем. Затем слова, содержащие 2 символа и т.д.
1…k k+1 k1
Причём однобуквенных и двубуквенных слов нет, также как и 3-х буквенных. Число машин Тьюринга не более чем счетное.
Опр. С каждой машиной Тьюринга связан язык – те цепочки, которые она допускает. Тот язык, который допускается машиной Тьюринга называется рекурсивно-перечислимым (рп-язык).
Опр. Языком диагонализации Ld называется множество всех цепочек, каждая из которых не принадлежит ни одному из этих языков. Язык диагонализации состоит из всех цепочек w, каждая из которых не допускается соответствующей машиной Тьюринга с кодом w.
wi Mi |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
… |
|
|
|
… |
|
Допускает ли i-тая машина Тьюринга (Опр.i – той машиной Тьюринга называется машина Тьюринга кодом которой называется i-тая двоичная цепочка wi.) цепочку с номером j. Если на пересечении 1 – то допускает. Если 0 – нет. Эта i-тая строка называется характеристическим вектором языка машины Mi (L(Mi)) Рассмотрим числа, стоящие на диагонали. Они показывают, допускает ли машина цепочку wi. Если поменяем на диагонали 0 на 1, 1 на 0, то получим язык диагонализации. Будут те цепочки, которые не допускаются машиной Тьюринга.
Опр. Операция с дополнением диагонали для нахождения характеристического вектора языка, которому не может соответствовать ни одна строка, называется диагонализацией.
Дополнение диагонали не может быть характеристическим вектором языка никакой МТ.
Теорема. Язык диагонализации не является рекурсивно-перечислимым.
Если Ld - рекурсивно перечислим, значит, существует машина Тьюринга, но такой машины нет.
Опр. Универсальный язык Lu – множество двоичных цепочек, являющихся кодами пар (М,w), где M – машина Тьюринга с двоичным кодом, w – цепочка, принадлежащая языку этой машины. То есть, универсальный язык – множество цепочек, представляющих машину Тьюринга и допускаемый ей вход. Универсальный язык является рекурсивно-перечислимым, но не рекурсивным.
Машина Тьюринга останавливается, если обозревает в данном состоянии символ х. У нее нет перехода в следующее состояние, когда попадает в один из символов, принадлежащих F.
(Опр. Язык машины Тьюринга называется рекурсивным, если машина Тьюринга останавливается независимо от того, допускает ли она слово или нет).