Системы с одним устройством обслуживания

Структура одноканальной СМО показана на рисунке:

вх. Устройство

поток вых. поток

Если обозначить среднее время пребывания требований в очереди, через w и рассмотреть СМО как очередь q, то, используя формулу Литтл, среднее количество требований в очереди = w .

Если обозначить среднее время обслуживания в устройстве через и рассмотреть как устройство S, то, используя формулу Литтла, можно найти среднее количество требований в устройстве: =

Всегда имеет место уравнение: , где

Т – среднее время пребывания требования в СМО с одним устройством.

Коэффициент загрузки определяет, какую часть времени устройство было занято на протяжении всего времени наблюдения за СМО. Для обозначения СМО используют три параметра: X / Y / Z, где

Х – распределение времени поступления заявок,

Y – распределение времени обслуживания

Z – число обслуживающих устройств.

Для обозначения X и Y используются:

М – Марковские процессы,

D – детерминированные системы,

G – системы, о которых мало что известно, это системы с произвольным распределением.

В СМО самая известная модель – это М / М / 1.

Такая СМО иногда используется как модель для одного процессора компьютерной системы или как стандартное устройство ввода – вывода (например, магнитный диск)

D / D / 1 – детерминированное устройство

D / М / 2 – смешанная система с двумя устройствами обслуживания

G / G / М – система с произвольным распределением и М устройствами обслуживания.

Формула Поллачека – Хинчина

Введем коэффициент вариации С, как отношение стандартного отклонения к среднему:

- среднеквадратичное отклонение

Для экспоненциального закона распределения С = 1, т.к. для него = и = .

Для регулярного (детерминированного) закона распределения С = 0.

Для системы G / G / 1 среднее количество требований определяется как = ,

а среднее время пребывания в одноканальной СМО в соответствии с формулой Поллачека-Хинчина: .

Основной результат этой формулы состоит в том, что среднее время пребывания требований в системе зависит только от мат. ожидания и стандартного отклонения времени обслуживания.

Таким образом, время ожидания определяется выражением w =

Обычно используют нормированное время ожидания

Так, например, для системы М / М / 1: ,

а для системы M / D /1:

Многоканальные смо

Структура многоканальной СМО изображена на рисунке

Анализ многоканального СМО значительно сложнее, поэтому аналитические зависимости для описания работы таких СМО получены только для систем М / М / m.

Если система имеет m одинаковых устройств, то

Для многоканальных систем можно трактовать как математическое ожидание части занятых устройств.

Вероятностное моделирование Метод Монте-Карло

В тех случаях, когда при моделировании необходимо учитывать некоторый случайный фактор (элемент или явление), например, риск вложения средств, который невозможно описать аналитически, используют метод моделирования, называемый методом статистических испытаний или методом Монте-Карло.

С помощью этого метода может быть решена любая вероятностная задача, однако использовать его целесообразно в том случае, если решить задачу с его помощью проще, чем любым другим методом. Сущность метода состоит в том, что вместо описания случайных явлений аналитическими зависимостями производится розыгрыш случайных явлений с помощью некоторой процедуры (бросание монеты, кубика, использование генератора случайных чисел), которая дает случайный результат. С помощью розыгрыша получают одну реализацию случайного явления. Проводя многократно такой розыгрыш, накапливают статистический материал, который потом обрабатывают различными методами.

Рассмотрим данный метод на примере вычисления площади плоской фигуры, т.е. данный метод можно применять и для решения не только вероятностных, но и детерминированных задач:

Примем для простоты, что ОА=ОВ=1 и будем считать, что 0 ≤ φ(х) ≤ 1. Пусть мы имеем случайную величину Z, равномерно распределенную в интервале [0, 1]. Если величинам x и y приписывать значения пар Z_i, Z_i+1, то пары x и y образуют случайную точку на плоскости XOY. Эти точки будут иметь равномерное распределение внутри квадрата ОАВС. Выборка каждой очередной пары Z_i, Z_i+1 соответствует, таким образом, ”бросанию” точки внутрь квадрата ОАВС.

Пусть всего брошено N точек, из них m_А попало под кривую φ(х), тогда статистическую оценку вероятности р(F) попадания в область q_a можно найти как отношение:

- геометрическая интерпретация.

Учитывая, что и то, что S_G=1, можем записать, что вероятность попадания , тогда, используя геометрический смысл интеграла, запишем:

Процедура решения задачи на ЭВМ имеет вид:

1) Выбирается случайное число Z_i на отрезке от 0 до 1 с равномерным законом распределения. Это число принимается равным x_i.

2) Вычисляется значение φ(х_i).

3) Вырабатывается очередное число Z_i+1, которое принимается в качестве координаты y_i этой случайной точки: y_i = φ(х_i).

4) Значение φ(х_i) сравнивается с числом Z_i+1. Если φ(х_i+1) Z_i+1, то результату сравнения присваивается признак w=1 при φ(х_i+1)< Z_i+1 w=0.

5) Полученное значение признака w добавляется в содержимое счетчика точек под кривой φ(х).

6) Содержимому счетчика числа N добавляется 1.

7) Управление передается к первой операции.

Рассмотренная процедура не требует запоминания всех случайных чисел, полученных в результате эксперимента. Запоминаются лишь числа m_А и N. Это обстоятельство является важной и отличительной особенностью метода Монте-Карло.