14) Дифференцируемость сложных функций нескольких переменных

Рассмотрим функцию z=f(x,y), определенную в области D. Будем считать, что переменные x и y сами являются функциями переменного t на числовом промежутке (начальная и концевая точки могут как принадлежать промежутку, так и нет): , причем точки при .

Т. Если функции дифференцируемы в точке t=t₀ из промежутка , а функция z=f(x,y) дифференцируема в точке M₀(x₀,y₀), где , то сложная функция z(t)= дифференцируема в точке t=t₀, причем ее производная в этой точке вычисляется по формуле: или .

Т. Если дифференцируемы в точке Q₀(ξ₀,ŋ₀) , а z=f(x,y) дифференцируема в точке M₀(x₀,y₀), где , то сложная функция дифференцируема в точке Q₀(ξ₀,ŋ₀), причем справедливы следующие формулы: ,

15) Инвариантность формы дифференциала первого порядка.

Пусть Z=f(x,y) задана в некоторой области D⊂R², M₀(x₀,y₀) ∈D. Пусть f(x,y) дифференцируема в M₀, тогда (1)

Возникает вопрос, сохраняется ли эта формула (1) если x и y сами являются функциями: x=𝜑(t), y=ψ(t).

Ответ положительный.

Заметим, что Z=f[𝜑(t),ψ(t)] если x иy являются функциями.

таким образом получаем: (2)

Замеч. Внешне формулы (1) и (2) одинаковы. Отличие этих формул заключается в том, что в (1) dx=Δx и dy=Δy, а в (2) dx≠Δx и dy≠Δy, когда x,y независимые переменные.

Т. о. мы установили, что внешне формула дифференциала первого порядка остается неизменной, то есть она не зависит от того, являются ли x и y независимыми переменными или сами являются функциями.

16) Частные производные высших порядков.

Пусть в некоторой области D⊂R² задана функция Z=f(x,y) или Z=f(M). Пусть M(x,y) произвольная точка из D. Если Z=f(x,y) дифференцируема в M(x,y), то и .

В свою очередь эти производные сами являются функциями двух переменных, поэтому можно говорить о частных производных от функций и

Опр. Частная производная от частной производной первого порядка функции f в точке M называется частной производной второго порядка этой функции в точке M.

Другими словами:

Частной производной второго порядка функции Z=f(x,y) в точке M(x,y) называется частная производная от или от

Согласно этому определению:

Обозначается: или ; или ;

и - смешанные частные производные.

Опр. Частной производной функции f(x,y) n-го порядка в точке M(x,y) называется частная производная от частной производной (n-1)-го порядка этой функции в точке M(x,y).

Опр. Пусть n>1 фиксированное натуральное число. Говорят, что функция f(x,y)nраз дифференцируема в точке M(x,y), если все ее частные производные (n-1)-го порядка дифференцируемы в этой точке M.

Совершенно аналогично определяется понятие частных производных высшего порядка функции от n переменных.

Т1 Если функция Z=f(x,y) дважды дифференцируема в точке M(x,y), то в этой точке

На практике часто используется след. теор.:

Т2 Достаточное условие равенства смешанных частных производных)

Если для функции Z=f(x,y) в некоторой окрестности K(M,Ɛ) точки M(x,y) и и в самой точке M(x,y) эти частные производные непрерывны, то в точке M(x,y).