7) Непрер. Сложной ф-и.

Пусть переменные х и у являются ф-ями от пер t: x=φ(t), y=ψ(t), t∈D₁ (1) (где D₁-обл-ть определения ф-й φ(t) и ψ(t)). Тогда каждому значению t∈D₁ ставится в соответствие, с помощью формул (1) точка М(х,у)∈R²_xy. Обозначим через D мн-во всех таких точек из R²_ху. Пусть z=f(x,y)-ф-я 2х пер. заданная на указанном множ. D. В этом случае говорят что на множ-ве D₁ определена сложная ф-я F(t)=f[φ(t), ψ(t)]. Переменные х и у называются промежуточными аргументами ф-и F(t)=f(x,y), где x=φ(t), y=ψ(t), а t-независимым аргументом.

Т. (о непрерывности сложной ф-и) Если ф-и х=φ(t) и ψ(t) непрер в т t=t₀, а ф-я z=f(x,y) непрер в т М₀(x₀, y₀), где x₀=φ(t₀), y₀=ψ(t₀), то сложная ф-я F(t)=f[φ(t),ψ(t)] непрерывна в т t=t₀.

8) Основные св-ва непрерывных ф-й

1⁰ (т. о сохр знака непрер ф-и) Если z=f(x,y) или z=f(M) непрер в т. М₀ и f(М₀)=A, A≠0, то ∃ К(М₀, ℰ), f(M)≠0, причём знак числа f(M) совпадает со знаком числа А=f(M₀).

2⁰ (теорема о промежуточном значении непрер ф-и) Пусть функция Z=f(x,y) непрерывна в области D. Тогда, каковы бы ни были точки M₁, M₂ из D, ∀С, f(M₁)<C< f(M₂), ∃M₀∈D, что f(M₀)=C.

Опр. Ф-я f(M) наз непрер на мн-ве D, если она непрер в каждой точке M∈D. Мн-во D на R² наз ограниченным, если ∃ такой прямоугольник(П) или круг(К(О, ρ)), что D⊂П или D⊂K.

Опр. Мн-во D наз. замкнутым если оно содержит все свои предельные точки. К(М₀, ρ)=К(М₀, ρ)∪S(M₀, ρ)-замкнутое и огранич мн-во.

3⁰ (первая т. Вейерштрасса) Если ф-я Z=f(M) непрер на замкнутом и огранич мн-ве D, то она ограничена, т.е ∃d>0, т.е |f(M)|<d, ∀M∈D.

4⁰ (вторая т Вейерштрасса) Если ф-я f(M) непрер на замкнутом и огранич мн-ве D, то она достигает на этом множ D своего наиб и наим знач-я, т. е ∃ М₁ и М₂∈D, где f(M₁)= , f(M₂)= .

9) Равномерная непрер-ть функций 2х переменных

Пусть задана ф-я z=f(M) или z=f(x,y) на D, пусть М₀(х₀, у₀)-фиксир т из D.

Опр. Непрерывность f(M) в т М₀ означает что ∀ℰ>0 ∃δ₀=δ₀(ℰ, M₀)>0 такое, что ∀М∈D и удовл условию: ρ(М, М₀)<δ₀=>|f(M₀)|<ℰ.

Опр. (равномерная непрер ф-и f на множ D) Говорят что ф-я f равномерно непрер на множ D, если ∀ℰ>0 ∃δ=δ(ℰ)>0, что ∀М, М₂∈D и ρ(М₁, М₂)<δ=>|f(M₁)-f(M₂)|<ℰ.

Замеч. Из этого определения видно что если ф-я явл равномерно непрер на D, то она будет непрер в каждой т М∈D. Обратное утв. Вообще говоря неверно, т.е если ф-я непрер в каждой т. М∈D, то это не означ что ф-я будет равномерно непрер. Однако, если D явл замкнутым и огранич мн-вом, тогда справедлива след Т. Кантора:

Т.(Кантора) Если ф-я f(M) непрер на замкнутом и огранич мн-ве D, то она равномерно непрер на D.

10) Частные производные ф-й нескольких переменных

Пусть ф-я z=f(x,y) задана в нек области D⊂R², рассм в этой области фиксир т М₀(х₀, у₀)∈D - внутренняя и М(х,у)-произв т из D. Δх=х-х₀, Δу=у-у₀, предположим что М имеет координаты: М(х₀+Δх,у₀)∈D, тогда можно рассмотреть частное приращение в этой точке: Δ_xz(M₀)=f(x₀+Δx, y₀)-f(x₀, y₀) Δ_xz-ф-я 1й переменной Δх., рассм - ф-я от Δх, Δх≠0, М(х₀+Δх, у₀)∈D, .

Опр. Если сущ конечный предел отношения , при Δхà0, то он наз частной производной по х, ф-и z=f(x,y) в т. М₀(х₀, у₀) и обозн. f_x'(x₀, y₀) или (М₀). Т.о. или подробно: .

Совершенно аналогично определяется частная производная по у в т М₀: = , обозн: , , , .

Рассм ф-ю n переменных, где ∀n>1: u=u(x₁, x₂,…,x_k, x_k+1,…,x_n).

Δ u(M₀)= u(x₁⁰, x₂⁰,…,x_k⁰+Δx_k⁰,…,x_n) - u(x₁⁰, x₂⁰,…,x_k⁰,…,x_n), где Δx_k=x_k-x_k⁰, M₀(x₁⁰, x₂⁰,…,x_n⁰).

Опр. Частной производной ф-и u по х_к в т М₀ наз = (M₀) или .

Замеч. Из опр. частных производных неск. пер. видно, что когда ищется частная производная по какой-то пер х_к, все ост пер. играют роль постоянных. Поэтому частную производную ф-и неск пер можно вычислять по тем же правилам что и для ф. одной пер.

Физический смыл: Если ваша ф-я z это ф-я 2х пер, то частная производная означает скорость изменения ф-и по направлению оси , а - скорость изменения ф-и по оси .