- •1. Понятие реш задач мат программирования. Постановка задач линейного программирования. Примеры. 1.
- •2 . Основные формы задача лп. Правило сведения злп к канон форме. Геометр интерпр злп. Понятие угловой точки мн-ва
- •3. Критерий угловой точки множества.
- •4. Определение базиса угловой точки. Невырожденные угловые точки. Примеры.
- •5. Связь между переменными злп.
- •7. Построение симплекс-таблицы. Достаточное условие оптимизации в задаче лп. Достаточное условие неразрешимости задачи лп.
- •8. Итерация симплекс-метода.
- •9. Обоснование конечности симплекс-алгоритма.
- •10. Обоснование непустоты множества планов в злп. Пример.
- •11.Нахождение базиса угловой точки. Пример. Св-во решений злп.
- •12. Свой-ва решений злп.
- •13. Постановка тз. Построение плана перевозок методом северо-западного угла.
- •14.Определение закрытой модели тз. Критерий существования решения тз.
- •Замечание Транспортная задача, для которой выполняется условие (1) называется закрытой, в противном случае – открытой.
- •15.Исследование множества клеток транспортной таблицы.
- •16.Достаточное условие минимальности стоимости перевозок
- •17. Определения выпуклого множества, выпуклой функции. Свойства выпуклых множеств. Сумма выпуклых функций. Свойство Лебега выпуклых функций. Свойство неотрицательности остатка выпуклой функции.
- •18. Теорема о точках минимума выпуклой функции. Теорема о стационарной точке выпуклой функции.
- •20.Классический метод решения задачи безусловной минимизации функции многих переменных. Пример.
- •21.Метод исключения решения задачи на усл минимум. Пример.
- •23.Классич правило мн л в задаче опт-ции с огранич типа равенств. Необходим условия первого и второго порядка в задаче опт-ции типа равенств.
- •24.Достат условия экстремума в задаче опт-ции с ограничениями типа равенств.
- •25. Задача проектирования на выпуклое и замкнутое множество. Свойства проекции. Примеры.
- •27. Основные определения в задаче одномерной минимизации. Примеры.
- •Пример . Множ-во решений задачи min-ции f(X)
- •28.Метод деления отрезка пополам решения задачи одномерной минимизации.
- •29.Метод золотого сечения.
- •30.Метод ломаных. Обоснование и алгоритм. Пример.
- •31.Обоснование сходимости метода ломаных решения задачи одомерной минимизации
- •33. Алгоритм метода условного градиента
- •Теорема3
- •35. Сходимостсь метода скорейшого спуска
- •36. Постановка задачи вариационного исчисления. Пр.
- •Определим множество:
- •Замечание
- •37. Метод вариаций лагранжа Пусть в задаче , где и исследуется на минимум кривая , тогда все допустимые кривые X(t), из множества X можно представить в виде:
- •38. Уравнение Эйлера.
- •39. Случай интегрируемости ур-ния Эйлера. Пример.
- •40. Задача вариационного исчисления с незакрепленными концами и фиксированным отрезком интегрирования.
- •41. Задача вариационного исчисления с незакрепленными концами и нефиксированным отрезком интегрирования.
- •42. Задача вариационного исчисления с движущимся по кривой коцом.
- •43. Примеры задач динамического программирования, их особенности.
- •44. Принципы динам програм и функцон ур-ния Беллмана.
- •45. Постановка задачи оптимального быстродействия.
- •46 Достат условия оптимальности для линейной задачи оптимального быстродействия (зоб).
- •47. Пример решения задач оптимального быстродействия.
41. Задача вариационного исчисления с незакрепленными концами и нефиксированным отрезком интегрирования.
Рассм след задачу: , , (8), где ф-ция непрерывно диф-ма на некот отрезке . Значение задано, где – заданное значение, а правый конец лежит на заданной гладкой кривой , т.е. .
Необходимо найти на мн-ве гладких ф-ций определенных на отрезке ф-цию и момент времени так, что ф-ция доставляет менимум ф-цианалу (8) при условиях , .
Теорема. Если доставляет минимум в ПЗВИ (8) с фиксированным левым концом и правым концом, лежащим на гладкой кривой , то ф-ция удовлетворяет ур Эйлера
, гранич условиям , и усл трансверсальности . Следствие Если левый конец не явл фиксированным, а лежит на гладкой кривой , то кривая должна удовл-ть ур Эйлера, краевым усл , и усл трансвервальности: ,
42. Задача вариационного исчисления с движущимся по кривой коцом.
Рассм след задачу: , , (8), где ф-ция непрерывно диф-ма на некот отрезке . Значение задано, где – заданное значение, а правый конец лежит на заданной гладкой кривой , т.е. .
Необходимо найти на мн-ве гладких ф-ций определенных на отрезке ф-цию и момент времени так, что ф-ция доставляет менимум ф-цианалу (8) при условиях , .
Теорема. Если доставляет минимум в ПЗВИ (8) с фиксированным левым концом и правым концом, лежащим на гладкой кривой , то ф-ция удовлетворяет ур Эйлера
, гранич условиям , и усл трансверсальности . Следствие Если левый конец не явл фиксированным, а лежит на гладкой кривой , то кривая должна удовл-ть ур Эйлера, краевым усл , и усл трансвервальности: ,
43. Примеры задач динамического программирования, их особенности.
Динам программирование (ДМ) (динам планирование) – это метод нахождения оптим реш в задаче с многошаг структурой. Многие эконом задачи раздел на шаги естеств образом, это н-р, процессы планир и управления развиваемые во времени. Естеств шагом в них может быть год, квартал, месяц и т.д. Однако МДП может исп при реш задач, где время не фигурирует. Разделение на шаги в таких задачах вводится искусственно, поэтому динамика ЗДП заключ в методе реш-я. К ЗДП относ задачи перспективного и текущ планирования во времени, задача многошагов нахож-я оптимума при размещ производит сил, задачи оптим быстродействия.
Выделим особенности ЗДП:
1 в задаче рассм система, состояния ГОм в каж мом времени t опред вектором . Дальнейшее изменение состояние системы зависит от дан состояния и не зав от того, каким путём система пришла в это состояние. Такие процессы наз проц без последействия.
2 на каж шаге выбирается одно решение ( управление) , под действ кот система переходит из предыдущ состояния в след состояние . Это нов сост явл ф-ей сост-я на начало интервала и принятого в начале интервала решения , т.е. . 3 Действ на каж шаге связаны с опред выигрышем (доходом, прибылью) или потерей (издержками), кот зависят от состояний на начало шага и принятого решения.
4 На векторы состояния и управления может быть наложены ограничения, объединение которых представляют область допуст значений.
5 Требуется найти такое допустимое управление для каж шага , чтобы получить экстремальн значение ф-ции цели за все шагов.
Любую допустимую посл-ть действий для каж шага, переводящую систему из нач состояния в конечное наз стратегией управления. Допуст стратегия управления, доставляющая цели экстрем значение наз оптимальной.
Пример Задача перспективного планирования.
Пусть планируется деятельность группы из промыш предприятий (пр) на перид хоз лет. В нач период на развитие системы пр выделены некот ср-ва в кол-ве , кот д\б распределены между пр. В проц деят пр вложенные в него ср-ва частично амортизируются. Каж пр за год приносит доход в зависит от вложен ср-в, часть которого отчисл в фонд пр. В нач каж хоз года имеющ ср-ва перераспределяются между пр-ями. Возник задачи определения объема ср-в в нач каж года, кот нужно выделить каждому пр-ю чтобы суммарн чистый доход за Т лет был максимальным.
В этой задаче проц принятия решения разбив на шагов. Управление этим процессам заключ в нач и последовательном распред ср-в , где есть объем ср-в , выделенных i–ому предпр в нач t–го года. Состояние системы опис вектором , где сост i–го предпр. на нач t–го года. В свою очередь состояние каждого пр-я явл вектором, компонентами кот служат труд ресурсы, осн фонды, фин положение и т.д. Очевидно, что вектор управления есть ф-ция состояния системы на начало соотв периода, т.е. . Нач сост системы может быть заданным. В кач целевой ф-ции часто рассм суммарн прибыль объединения пр-й за Т хоз лет. Управление выбирается из некот мн-ва , кот может быть описано как мн-во эконом возможностей, определ различ ограничениями, налагаемыми на состояние системы и вектор управления.