![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Понятие реш задач мат программирования. Постановка задач линейного программирования. Примеры. 1.
- •2 . Основные формы задача лп. Правило сведения злп к канон форме. Геометр интерпр злп. Понятие угловой точки мн-ва
- •3. Критерий угловой точки множества.
- •4. Определение базиса угловой точки. Невырожденные угловые точки. Примеры.
- •5. Связь между переменными злп.
- •7. Построение симплекс-таблицы. Достаточное условие оптимизации в задаче лп. Достаточное условие неразрешимости задачи лп.
- •8. Итерация симплекс-метода.
- •9. Обоснование конечности симплекс-алгоритма.
- •10. Обоснование непустоты множества планов в злп. Пример.
- •11.Нахождение базиса угловой точки. Пример. Св-во решений злп.
- •12. Свой-ва решений злп.
- •13. Постановка тз. Построение плана перевозок методом северо-западного угла.
- •14.Определение закрытой модели тз. Критерий существования решения тз.
- •Замечание Транспортная задача, для которой выполняется условие (1) называется закрытой, в противном случае – открытой.
- •15.Исследование множества клеток транспортной таблицы.
- •16.Достаточное условие минимальности стоимости перевозок
- •17. Определения выпуклого множества, выпуклой функции. Свойства выпуклых множеств. Сумма выпуклых функций. Свойство Лебега выпуклых функций. Свойство неотрицательности остатка выпуклой функции.
- •18. Теорема о точках минимума выпуклой функции. Теорема о стационарной точке выпуклой функции.
- •20.Классический метод решения задачи безусловной минимизации функции многих переменных. Пример.
- •21.Метод исключения решения задачи на усл минимум. Пример.
- •23.Классич правило мн л в задаче опт-ции с огранич типа равенств. Необходим условия первого и второго порядка в задаче опт-ции типа равенств.
- •24.Достат условия экстремума в задаче опт-ции с ограничениями типа равенств.
- •25. Задача проектирования на выпуклое и замкнутое множество. Свойства проекции. Примеры.
- •27. Основные определения в задаче одномерной минимизации. Примеры.
- •Пример . Множ-во решений задачи min-ции f(X)
- •28.Метод деления отрезка пополам решения задачи одномерной минимизации.
- •29.Метод золотого сечения.
- •30.Метод ломаных. Обоснование и алгоритм. Пример.
- •31.Обоснование сходимости метода ломаных решения задачи одомерной минимизации
- •33. Алгоритм метода условного градиента
- •Теорема3
- •35. Сходимостсь метода скорейшого спуска
- •36. Постановка задачи вариационного исчисления. Пр.
- •Определим множество:
- •Замечание
- •37. Метод вариаций лагранжа Пусть в задаче , где и исследуется на минимум кривая , тогда все допустимые кривые X(t), из множества X можно представить в виде:
- •38. Уравнение Эйлера.
- •39. Случай интегрируемости ур-ния Эйлера. Пример.
- •40. Задача вариационного исчисления с незакрепленными концами и фиксированным отрезком интегрирования.
- •41. Задача вариационного исчисления с незакрепленными концами и нефиксированным отрезком интегрирования.
- •42. Задача вариационного исчисления с движущимся по кривой коцом.
- •43. Примеры задач динамического программирования, их особенности.
- •44. Принципы динам програм и функцон ур-ния Беллмана.
- •45. Постановка задачи оптимального быстродействия.
- •46 Достат условия оптимальности для линейной задачи оптимального быстродействия (зоб).
- •47. Пример решения задач оптимального быстродействия.
38. Уравнение Эйлера.
Лемма.
Если рав-во
выполнено
для некоторой непрерывной ф-ии
и
всех непрерывных ф-ий
,
удовлет условию
,
то
на
.
Док-во.Пусть
.
Для ф-ии
,
кот.удовлетворяет условиям леммы,
рассмотрим
.(1).
Вместо
в (1) подставим
.
Тогда
,
т.к.
-непрерывная
ф-ия. Сл.
Если
-непрерывная
ф-ия, то
.
Док-во.
по
условиям леммы. Теор.
Если кривая
доставляет
слабый locmin
в простейшей ЗВИ, то на ней выполнено
ДУ Эйлера
(2) с краевыми условиями
(3). Док-во. Если кривая
доставляет слабый locmin
ПЗВИ, то
,где
,
Рассмотрим
Тогда
Используя
следствие к лемме получим
(4). Уравнение (4) называется интегр.уравн.Эйлера,
его
решение называется экстремалью. Перепишем
(4) так
.
В правой части стоит ф-я диф. по t,
значит и в левой части стоит ф-я диф. по
t,
39. Случай интегрируемости ур-ния Эйлера. Пример.
Теорема:
Если кривая
доставляет слабый locmin
в простейшей ЗВИ, то на ней выполняется
диф ур-ние Эйлера:
(1) с краевыми условиями
,
(2) Док-во:
Если краевая
доставляет слабый locmin
простейшей ЗВИ, то первая вариация
функционала
,
здесь ф-ции
,
Рассм интеграл:
,
тогда по следствию к лемме, получим:
(3) Ур-ние (3) наз интегральным
ур-нием Эйлера, а любое его решение –
экстремалью Перепишем ур-ние (3) в виде:
В последнем рав-ве в правой части стоит
ф-ция диф-мая по
,
значит и в левой части функция диф-мая
по
и следов-но справедливо рав-во:
последнее ур-ние и есть ур-ние (1). Т.
доказана.Замечание:
В развернутом виде Ур-ние Эйлера
представляется как
, т.е. явл диф-ным ур-нием 2-го порядка.
Значение постоянных в общем решении
этого ур-ния определяется из краевых
условий (2)Экстремаль
наз особой в точке
из отр-ка
,
если
Замечание:
Экстремаль всегда будет особой для всех
,
если ф-ция
явл линейной по
,
т.е. ф-цию F
можно представить в виде:
Выпишем ур-ние Эйлера для такой ф-ции
F:
(4) Если (4) не явл тождеством, то оно
определяет некот линию
,
которая будет проходить через заданные
граничные точки лишь в исключительных
случаях. Если же рав-во (4) явл тождеством,
то положим
,
,получим:
,
т.е. знач-е функционала не зависит от
выбора кривых, соединяющих граничные
точки.В каждом из рассмотренных случаев
задача вырождается.ПРИМЕР
,
,
,
,
,
Подставляя
краевые значения, получаем:
Экстремаль:
40. Задача вариационного исчисления с незакрепленными концами и фиксированным отрезком интегрирования.
1.
Рассмотрим задачу
(1) где
определена и непрерывна со всеми частными
производными до 2-ого порядка включительно,
,
является
заданным, а значения
не закреплены (свободны). Пусть траектория
является
подозрительной на достижение экстремума
функционала (1).
Рассм
вариации Лагранжа
,
где
.
Тогда
,
где
.
И образуем 1-ую вариацию функционала:
(2)
Т.о. доказали теор 1.
Теорема1:
Если
доставляет
функционалу (1) в случае, когда отрезок
задан,
не закреплены, то кривая
удовлетворяет уравнению Эйлера (3) с
краевыми условиями (2).
Замечание:
Если левый или правый конец траектории
закреплён, то первое или второе из
условий (2) заменяется
или
.
2.
Ищем
(1) при условиях когда отрезок
не фиксирован. Значение ф-ии на концах
отрезка не заданы. Пусть
явл решением рассм задачи. Тогда найдётся
такие
,
что кривая
удовлетворяет уравн Эйлера (3) и краевым
условиям (2). Определим условие для
значений
.
Рассм
,
,
где
-
произвольные приращения интервала,
.
И предположим продолжимость решения
на отрезок
,
если это необходимо. Рассм
(4)
(*)-по теор о среднем интеграл равен значению подинт ф-ии в некотор т из интервала интегрирования, умнож на длину интервала + о от длины интервала инт.
В
(4) рассм
,
разделим на
и
.
,
тогда
(5)
(6)
(4)
должно выполняться для
.
Значит (5) и (6) должны выполняться
одновременно. Значит:
(7)
В (7) произвольны и независимы друг от друга, поэтому
(8)
Т.о. справедлива теор 2.
Теорема 2. Если доставляет слабый минимум функционалу (1) в задаче с незакреплёнными концами, то кривая удовл ДУ Эйлера (3) и условиям (7) и (8).