15)Опред.Лин.Зав.И независ.Сист.Векторов.

Векторы а1,а2,…аn пространства Rn называются линейно независ.,

если уравнение α1a1+α2a2+…+αnan=0 имеет единственное нулев.

решение α1=0,α2=0,αn=0. Векторы а1,а2,…аn пространства Rn

назыв.линейно завис.,если найдутся числа α1,α2,αn,≠0, для к-рых

выполнено равенство α1a1+α2a2+…+αnan=0. Св-ва завис.:1)вект.

a1,a2,…,an лин.завсим.->хотябы 1 вект.из них линейно выраж.черз

остальные.2)Если среди вект a1,a2,…,an найдётся нулевой,то эти

вект.-лин.завис.3)если часть вект.a1,a2,…,an явл.лин.заси,то и все

в ект-лин.завис. Св-ва независ.:1) лин.завис.2)M лин.нез.

→ M’ лин.независ.для всех .3) M лин.завис. M'лин.завис.

для всех  .

16)Опред.Базиса и размерн.Вект.Пр-ва

Базисом вект.пр-ва называется упорядочен. набор e1,e2,…,en лин.

независ.вект.,через к-ые любой вектор x пр-ва лин.выражается, т.е.

сущ.такие α1,α2,…,αn, что x=α1e1+α2e2+…+αnen. Например:e1={1,0},

e2={0,1}-базис в R²;q1={1,1},q2{1;-1}базис в R². Размерностью вект.

пр-ва назыв.число вект.в каком-либо базисе. Обозначается dimV –

-размерность вект.пр-ва V. (dimR2=2, dimR3=3 и т.д.).

17)Опред.Матр.Перехода и её св-ва.

Пусть E={e1,e2,…,en} и F={f1,f2,…,fn}-2 базиса вект.пр-ва V.Матр.пер.

от базиса E в F назыв.матр.”T”,в столбцах к-рой стоят корд.векторов

f1,f2,…,fn в базисе Е. i-й столб.матр.T.Тогда f_i=t₁ie₁+t₂ie₂+…+t_nie_n

Th:о матр.перех. Пусть Т матр.перех.от базиса Е к F. Тогда:1)detT≠0

2) =T× ,где{x1,x2,…,xn}-коорд.вект.x в базисеЕ,{x^’₁,x₂^’…x_n^’}в F.

3)Матр.перех.от F к Е равна T^-1. Св-ва:1)Матр.перех.-невырожденная,

т .е определ.этой матр.≠0. 2)

18)3 Опред.Ранга матр. Th:о ранге матр.

Рангом системы строк (столбцов) матр.A с m строк и n столб.назыв.max

число лин.независ.строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) назыв.

лин.незави.,если ни одна из них не выраж.линейно через другие. Ранг

системы строк всегда=рангу системы столбцов, и это число назыв.ранг

матрицы.Ранг матрицы—наивысший из порядков миноров этой матр.,

отличных от 0. Ранг матрицы — Размерность образа dim(im(A)) линейн.

оператора,которому соответствует матр. Тh:о ранге матрицы: Ранг матр.

А = max числу лин.независ.столбцов (или=рангу систем.столбцов матрА).

19)Слоу, Фунд.Сист.Реш.

Сист.лин.уравн.назыв.однородной,если все входящие в нее урав. явл.

лин.однородн.уравн.СЛОУ – это СЛУ, если свободные члены =0.x1=x2=x3=

= ...=xn=0 – это и есть решение системы. Такая система всегда совместна.

ФСР – это базис прост-ва решений. Любое решение

системы линейно выражается через фунд. систему.

20)Лин.Опер.Матр.Лин.Опер.,её св-ва.

Пусть V – вект.пр-во.Тогда отображение φ: V →V называется лин.опер.,

если выполн.следующие св-ва:1) ∀ x, y ∈ V φ(x+y)=φ(x)+φ(y).2) ∀ x∈ V

∀ α∈R, φ(αx)= αφ(x). Для любого вект. пр-ва всегда определенны 2 опер.:

1)Нулевой оператор 0: ∀ x∈ V, 0(х)=0, 2)Тождественный оператор E: ∀ x∈ V,

Е(х)=х. V-вект.пр-во, E-базис = { e1,e2,…,en }. Матр.лин.опер. φ: V →V

назыв.следующая матрица [φ]= {aij} в j-столбце к-рой стоят корд.образа

вектора. φ(ej) в базисе E φ(ej)=(a1je1+…+anjen).