6. Двойственность
Пример 1. Рассмотрим задачу об оптимальном плане выпуска продукции: для изготовления 4 видов продукции используется 2 вида сырья. Запасы сырья и его расход на изготовление единицы каждого вида продукции даны в таблице:
Виды сырья |
Запасы |
Виды продукции |
|||
I |
II |
III |
IV |
||
А Б |
160 900 |
4 - |
3 4 |
1 9 |
1 12 |
Доход |
12 |
5 |
4 |
1 |
|
Определить оптимальный план выпуска продукции из условия максимизации прибыли.
Математическая формулировка (модель) задачи:
Максимизировать функцию
при ограничениях
Предположим, что некоторая организация желает приобрести сырье, которым располагает предприятие. Надо оценить каждую единицу, используемых ресурсов. Будем такую оценку условно называть ценой.
Обозначим
соответственно, через
и
цену
единицы сырья А и Б.
Производство продукции вида I приносит предприятию доход 12 денежных единиц. При этом расходуется 4 единицы сырья А и 0 единиц сырья Б. Выручка от продажи сырья, расходуемого на единицу продукции I по ценам и , составит
.
Эта величина должна быть не меньше тех доходов, которые предприятие получит от реализации продукции вида I, следовательно,
.
Аналогичные рассуждения в отношении единицы продукции вида II, III, IV приводят к следующим неравенствам:
Общая стоимость
всех запасов сырья, приобретаемого
организацией, составит
.
Покупатель будет
стремиться купить сырье как можно
дешевле, т.е. минимизировать функцию
.
Получим задачу:
Получили задачу, двойственную данной. Следовательно, для стандартной задачи нужно выполнить следующие действия, для того чтобы получить ей двойственную:
1) число неизвестных в двойственной задаче равно числу ограничений в исходной;
2) неравенства в системе ограничений двойственной задачи будут противоположного смысла, чем неравенства в системе ограничений исходной задачи; сохраняется неотрицательность переменных;
3) свободные члены ограничений исходной задачи становятся коэффициентами целевой функции двойственной задачи, а коэффициенты целевой функции исходной задачи превращаются в свободные члены двойственной задачи;
4) в исходной задаче целевая функция минимизируется, а в двойственной – максимизируется.
По решению одной из задач можно сразу определить решение другой.
Решим исходную задачу симплекс-методом:
Сj |
Б |
0 |
12 |
5 |
4 |
1 |
0 |
0 |
θ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 0 |
|
160 900 |
4 0 |
3 4 |
1 9 |
1 12 |
1 0 |
0 1 |
40 - |
|
= |
0 |
-12 |
-5 |
-4 |
-1 |
0 |
0 |
|
12 0 |
|
40 900 |
1 0 |
3/4 4 |
1 /4 9 |
1/4 12 |
1/4 0 |
0 1 |
160 100 |
|
= |
480 |
0 |
4 |
-1 |
2 |
3 |
0 |
|
12 4 |
|
15 100 |
1 0 |
23/36 4/9 |
0 1 |
-1/12 4/3 |
1/4 0 |
-1/36 1/9 |
|
|
= |
580 |
0 |
40/9 |
0 |
10/3 |
3 |
1/9 |
|
|
|
|
|
||||||
.
Следовательно, для двойственной задачи
.
Неизвестные в
двойственной задаче равны соответствующим
оптимальным оценкам базисных переменных
исходной задачи плюс коэффициент,
стоящий в таблице над соответствующей
базисной переменной (Сj),
т.е.
.
Проверим:
.
При
,
.
Пример 2. В двойственной задаче к основной переменные могут иметь любой знак. Составим двойственную задачу к основной:
Двойственная задача имеет следующий вид:
Решим двойственную задачу графически
Координаты точки А дают значения неизвестных и , при которых функция принимает минимальное значение.
Найдем координаты этой точки:
По решению двойственной задачи найдем решение исходной по второй теореме двойственности (теореме равновесия).
Подставим координаты
точки
в систему ограничений двойственной
задачи:
Получим:
Первое неравенство
выполняется как строгое неравенство,
следовательно, соответствующая
переменная
исходной задачи равна 0. Последние два
неравенства обращаются в равенства,
следовательно, соответствующие им
переменные > 0.
Решая систему:
получим ответ для
исходной задачи:
.
В следующих примерах составить двойственную задачу к данной. Одну из задач решить и найти оптимальное решение другой задачи (по основной теореме двойственности; по теореме равновесия).
1.
3.
5.
2.
4.
6.
7.
9.
11.
13.
15.
8.
10.
12.
14.
16.
