12. Определения закрытой и открытой моделей транспортной задачи.
Модель такой транспортной задачи называется закрытой.
Транспортная задача называется открытой транспортной задачей, если условие баланса нарушаются; в случае выполнения условия баланса она называется сбалансированной транспортной задачей.
Однако у этой задачи есть одна очень существенная особенность: в ограничениях перед неизвестными всегда стоит 1. И именно это позволяет разработать гораздо более эффективные и простые алгоритмы решения транспортной задачи, чем симплекс-метод.
Сам же симплекс-метод был бы не эффективен по двум причинам:
Большая размерность решаемой задачи. Общее число неизвестных величин равно mn , и даже при n =m = 10 размерность решаемой задачи уже будет равна 100. Даже ЭВМ будет решать такую задачу симплекс-методом достаточно долго.
Опорные планы в транспортной задаче очень часто бывают вырожденными, а наличие вырождения приводит к необходимости несколько модифицировать симплекс-метод.
13. Методы построения начального плана транспортной задачи. Определение невырожденного плана.
Теорема 1. Транспортная задача имеет
решение если выполняется условиеz=
Теорема 2. Опорный план транспортной задачи содержит не более m+n-1 положительных компонентов
Если число положительных компонентов равно m+n-1, то опорный план яв-сяневырожденным в противном случае-вырожденным.
Наиболее распространёнными методами построения первоно-го опорного плана яв-ся:
1) метод северо-западного угла
2) метод минимальной стоимости
Если размерность матрицы тарифов велика то для определения первоначального плана удобнее пользоваться методом двойного предпочтения
Если опорный план имеет ровно m отличных от нулякомпонент, то он называется невырожденным опорным планом
14. Потенциалы и оценки плана транспортной задачи. Полученный опорный план транспортной задачи проверяют на оптимальность . Если он не оптимален т для получения оптимального плана применяют метод потенциалов
Теорема 3. Если план Х0=(Х0ij)m*xтранспортной задачи яв-ся оптимальным то ему соотвествует система m+nчисел ui,vjудовле-их условиям
Ui+vj=cijдля x0ij>0 и
Ui+vj<= cijдляx0ij=0 (i=1,m; j=1,n)
Числа ui,vjназываются потенциалами соответственно i-го поставщика и j-го потребителя
Из этой теоремы следует что для оптимальности плана транспортной задачи должны выполняться следующие условия:
1) Для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна равняться стоимости перевозки единицы груза стоящей в этой клетке т.е
Ui+vj=cij дляxij>0
2) Для каждой свободной клетки сумма потенциалов должна быть не больше тарифа в этой клетке, т.е
Ui+vj<=cijдля xij=0
Идея метода потенциалов состоит в следующем. Для любой свободной клетки транспортной таблицы всегда существует единственный цикл, положительная вершина которого лежит в этой свободной клетке, а все остальные - в базисных. Если цена такого цикла отрицательна, то план можно улучшить перемещением перевозок по данному циклу. Количество единиц груза, которое можно переместить, определяется минимальным значением перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла (если переместить большее число единиц груза, возникнут отрицательные перевозки). Если циклов с отрицательной ценой нет, то это означает, что дальнейшее улучшение плана невозможно, т.е. оптимальный план найден.